高等代数3-1矩阵及运算

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1、第四章矩阵矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列的形式,从而使许多问题可以用矩阵来表示,而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算,从而使矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具.§4.1矩阵的概念例1考虑线性方程组此方程组由未知量的系数和常数项决定,隐去未知量和运算符号,得到矩形表如下:通过对此矩形表的讨论,可得到方程组解的情况.(有没有解?有多少解?怎样求解?)一、矩阵的定义例某企业生产3种产品,各产品的季度产量(单位:吨)如下表:产品季度ABC1805875298708539075904887082这个产量表可用阵列表

2、示此阵列描述了这家企业三种产品各季度的生产情况例某农场种植两种农作物,在不同的气候条件下收益(单位:百元／亩)如下表:气候农作物少雨干旱雨量适中雨量过大A17.5106A26117这个收益表可用阵列表示定义由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的一个m行n列的矩形表,称为一个m×n矩阵,记作其中aij称为矩阵的第i行第j列元素.或一般情况下,用大写字母A,B,C,…表示矩阵.当矩阵的元素全是某数域P中的数时,就称之为数域P上的矩阵.例如是一个2×5矩阵是一个3×2矩阵是一个1×6矩阵是一个2×1矩阵是一个1

3、×1矩阵是一个3×3矩阵所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作O.把矩阵中各元素变号得到的矩阵称为A的负矩阵,记作－A.如果矩阵A的行数与列数相等,均为n,则称A为n阶方阵,或n阶矩阵.二、方阵与方阵的行列式定义设A为n阶方阵,由A的元素构成的n阶行列式,称为矩阵A的行列式,记为,或.矩阵与行列式的有何区别?2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵A与B相等,记作A=B.例如为同型矩阵.三、同型矩阵与矩阵相等1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.§4.2矩阵的运算1.矩阵的加法定义设A,B都是m×n矩阵,把它

4、们对应位置上的元素相加得到的m×n矩阵,称为矩阵A与B的和,记为A+B.即如一、矩阵的加法和数量乘法两个矩阵只有当它们的行数、列数相同,即当它们是同型矩阵时,才可以相加.例某工厂甲、乙两车间都生产A、B两种产品,两个车间四个季度的产量分别为甲车间:AB乙车间:AB两个车间A、B两种产品在各季度的产量和为:2.矩阵与数乘法定义以数k乘矩阵A的每个元素得到的矩阵，称为矩阵A与数k的数量乘积，记作kA.即例如数·矩阵=矩阵例设3个产地与4个销地之间的里程(单位:公里)为矩阵已知货物每吨每公里的运费为1.5元,则各产地与各销地之间每吨货物的

5、运费(单位:元)为3.矩阵的加法、矩阵与数的乘法满足以下运算规律:设A、B、C、O都是m×n矩阵，k、l是数,则(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=A(4)A+(-A)=O(5)k(A+B)=kA+kB(6)(k+l)A=kA+lA(7)(kl)A=k(lA)(8)1A=A(1)A+B==B+A(3)A+O==A(5)k(A+B)==kA+kB(7)(kl)A4.矩阵的减法例已知求3A－2B解3A－2B=例已知且2A+X=B－2X求X解3X=B－2A二、矩阵的乘法则m行n列矩阵其中称为矩阵A与B的乘

6、积,记为C=AB.m×ll×nm×n前列=后行例4×22×34×3m×1m×1=m×nn×1==AxbAx=b即线性方程组可以用矩阵方程Ax=b来表示矩阵的乘法满足以下运算律：(1)(AB)C=A(BC)结合律(2)(A+B)C=AC+BC右分配律C(A+B)=CA+CB左分配律(3)k(AB)=(kA)B=A(kB)关于数因子的结合律(4)AO=OOA=O(假设下列运算都可进行）例解不存在4×22×34×3例如果AC=CABC=CB证明(A+B)C=C(A+B)(AB)C=C(AB)一般地AB≠BAAB=OAB=ACA≠OB=C－

7、→A=O或B=O－→AB=ACB≠C定义如果矩阵A,B满足AB=BA,则称矩阵A与B可交换.此时A与B必是同阶方阵.求所有与A可交换的矩阵由AX=XA,得所有与A可交换的矩阵为其中a,b为任意常数求所有与A可交换的矩阵三、矩阵的方幂（乘方）设A为n阶方阵，定义A的k（k>0）次方为:矩阵的方幂满足算律:注意:只有方阵才有方幂.设A,B,C均为n阶方阵,一般地只有当AB=BA,即A,B可交换时,上面等式才成立.方阵的多项式若是x的n次多项式，则称是由f(x)形成的方阵A的多项式,其中A是方阵,E是与A同阶的单位矩阵.例设则定义将m×n

8、矩阵A的行与列互换,得到的n×m矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记为.即如果四、矩阵的转置矩阵的转置有如下性质：1×33×22×33×1结论:任一个n×n矩阵都可以表示为一个对阵矩阵和一个反对称矩阵的和.同阶的对称(或反对称)矩阵的和、数