高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算

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1、§4.2矩阵的运算一、加法1.定义设A=(aij)sn,B=(bij)sn则矩阵C=(cij)sn=(aij+bij)sn称为矩阵A与B的和，记作C=A+B．2．性质1）交换律A+B=B+A2）结合律(A+B)+C=A+(B+C)3）A+0=A4）A+(A)=03．减法：AB=A+(B)结论：对于两个同型矩阵A,B,有R(A+B)R(A)+R(B)二、乘法1.定义设A=(aij)sn,B=(bjk)nm记矩阵C=(cij)sm其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj称C为矩阵A与B的积，记作C=AB．注意理解定义例1线性方程组

2、中，令A=(aij)sn,则线性方程组的矩阵形式为AX＝B2．性质1)结合律(AB)C=A(BC)2)交换律一般不成立即是ABBA理由有三：a.乘法可能没意义，b.乘法有意义，但结果不是同型矩阵，c.前二者都满足，但就是不相等。若AB＝BA，称A与B可交换。分配律A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA消去律一般不成立即是若AB＝AC，不能得到B＝C。怎样理解？在满足什么条件时，消去律成立？5）AsnEn＝Asn,EsAsn＝Asn。定义:称主对角线上元素为1,其余元素都为0的n级方阵为n级单位矩阵,记为En.问题：若AE＝EA,是否A与E

3、可交换？6）AkAl＝Ak+l,(Ak)l＝Akl定义:设矩阵A为n级矩阵,定义A的方幂为A1=AAk+1=AkA问题：(AB)k与AkBk是否相等？如果不等，又需要添加什么条件？对于两个n级矩阵A,B,当AB=0时，R(A)+R(B)n8)对于n级矩阵A,当A2=0时，R(A+E)+R(AE)=n9)对于n级矩阵A,当A2=A时，R(A)+R(AE)=n三、数量乘法（数乘）1.定义设A=(aij)sn,kP,记矩阵B=(kaij)sn称B为矩阵A与k的数量乘积，记作B=kA．2．性质：1)(k+l)A=kA+lA2)k(A+B)=kA+kB

4、3)k(lA)=(kl)A4)1A=A5)k(AB)=(kA)B=A(kB)7)若A是n级矩阵，则kA=(kE)A=A(kE).8)kE+lE=(k+l)E9)(kE)(lE)=(kl)E数量矩阵的概念6)若A是n级方阵，则

5、kA

6、=

7、A

8、。四、转置1.定义设A=(aij)sn,称矩阵为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A．2．性质1)(A)=A2)(AB)=AB3)(AB)=BA4)(kA)=kA5)若A为方阵,

9、A

10、=

11、A

12、.3．对称矩阵、反对称矩阵定义设A为n级方阵，若1)A＝A，则称A为对称阵；2)A＝A，则称A为

13、反对称阵。性质：①对称矩阵的和、差仍是对称矩阵，反对称矩阵的和、差仍是反对称矩阵.②A为对称矩阵,kP,则kA是对称矩阵，A为反对称矩阵,kP,则kA是反对称矩阵。③奇数级反对称矩阵的行列式等于零.④A,B为对称矩阵,则AB对称AB=BA.⑤A,B为对称矩阵,则AB不一定对称；A,B为反对称矩阵,则AB不一定反对称；⑥A为方阵,则A+AT为对称矩阵,AAT为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。例4A反对称，B对称．证明：1）A2对称．2）ABBA对称；AB+BA反对称．3）AB反对称的充要条件为AB=BA．例5A为n级实

14、对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。