对称性在曲线积分中的应用

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1、对称性在曲线积分中的应用内容:在计算对称区间上的定积分和对称区域上的重积分时,适当利用积分区域和被积函数的对称性可起到简化计算的作用。同样,在曲线积分的计算中,也可利用对称性简化计算。　　关键词:对称性;曲线积分;实例　　:O13:A　　　　在各类《高等数学》教材中,在计算对称区间上的定积分和对称区域上的重积分时,适当利用积分区域和被积函数的对称性可起到简化计算的作用,但在曲线积分却很少谈及。实际上,在曲线积分问题中,也有相应的问题。如果把定积分、重积分视为线积分的特殊情况,则奇偶性、对称性这些在特定情况下的性质就可以推广到一般的线积分中。　　探讨如

2、何利用对称性计算曲线积分及曲面积分,使得曲线(面)积分更为简便、快捷。笔者通过自己的实践经验,运用实例,提出了自己的观点,希望能够起到抛砖引玉的效果。　　一、曲线积分中的对称性问题　　定理1:设平面[或空间]曲线C由关于点P(或直线l)[或平面a]对称的曲线C1和C2组成,且设M(∈C1)的对称点为M(∈C2),则　　　　例1:计算,其中C:(x2+y2)2=a2(x2-y2)。　　解:由于f(x,y)=

3、y

4、,而曲线C关于x轴、y轴对称,由定理1就只考虑第一象限部分的曲线积分即可。采用极坐标,令x=ρcosθ,y=ρsinθ,于是C的方程化为:ρ2

5、=a2cos2θ　　令又　　　　由定理1:得。其中C1是曲线C在第一象限的部分。　　例2:计算,其中Σ为平面z=π/2,0≤x≤π,0≤y≤π的上侧。　　解:　　　　　　　　　　　　　　　　其中Dxy={(x,y)∣0≤x≤π,0≤y≤π}为Σ在xoy平面的投影。　　定理2:设f(x,y)在光滑或分段光滑的平面曲线L上可积,L关于直线l对称。若f(x,y)关于直线l为奇函数,则　　若f(x,y)关于直线l为偶函数,则,其中L1为L在直线l一侧的部分。　　推论:设f(x,y)在光滑或分段光滑的平面曲线L上可积,L关于直线x=a对称。若f(2a-x,y)

6、=-f(x,y),则;若f(2a-x,y)=f(x,y),则,其中L1为L在直线x=a一侧的部分。　　例3:设f(x,y)函数在曲线L上连续,其中L关于直线x=a对称,弧长为s。计算。　　　　解:令,(x,y)∈L,则g(2a-x,y)==-g(x,y),即g　　　　(x,y)关于直线x=a为奇函数。由定理1的推论2知　　。　　　　于是,　　　　　　二、利用积分曲线关于变量的轮换对称性　　定义1:设,如果,就都有P2(x2,x3,…xn,x1)∈Ω,…,Pn(xn,x1…,xn-2,xn-1)∈Ω成立,所以称区域Ω关于变量x1,x2,…,xn-1,x

7、n具有轮换对称性。定义2:设函数F(x1,x2,…,xn-1,xn)≡F(x2,x3,…,xn,x1)≡…≡F(xn,x1,…,xn-2,xn-1)　　则把函数F(x1,x2,…,xn-1,xn)称为关于变量x1,x2,…,xn-1,xn具有轮换对称性。　　定理3:对于第一类平面曲线积分,如果积分曲线L关于变量x,y具有轮换对称性,则　　(1);　　(2)当L关于y=x对称,L在y=x的上半部分为L1,在下半部分为L2,则　　　　定理4:对于第一类空间曲线积分,如果Γ关于x,y,z具有轮换对称性,那么　　　　定理5:如果积分曲线Γ关于x,y,z具有轮

8、换对称性,那么　　　　　　例4:试计算,　　其中(1)Γ:x2+y2=a2;(2),　　解:∵积分曲线关于变量x,y具有轮换对称性,　　∴由定理6:得　　　　∵积分曲线关于变量x,y,z具有轮换对称性,　　∴由定理7:得