例谈求值题的解法和技巧

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1、例谈求值题的解法和技巧沈岳夫纵观各地的中考试题，命题者往往会在选择题或填空题中设置几道难度较大，技巧性较强的求值题，由于这些试题所涉及的知识点综合性强，使部分学生在解答时无从着手，找不到解题的途径．但如果能根据题目特征加以观察，把已知条件与所求的结论适当地加以变形、转化，沟通两者之间的联系，就能找到解题的捷径，本文列举常用的几种方法，供参考．一、整体代入法［例1］如果，那么代数式的值为（）A.bB.8C.－bD.－8解析：若从解得x再代入求值将较繁琐，可考虑整体代入求值．∵，，∴故．即答案为C．二、倒数法［例2］若，求的值是___________

2、．A.B.C.D.解析：若本题先由求出x再代入求的值将会非常麻烦，但我们可以用倒数法进行解答：∵由于=3，∴．化简得，∴，∴故选A．三、乘法公式法［例3］计算解析：若直接计算将会非常繁琐，若原式添上1，即乘以，然后逐次应用乘法公式，则原式．［例4］如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，若，则等于（）A.B.C.D.解析：由题意知AE=FB，∵AE=a，∴FB=a，又AF=b，∴，运用乘法公式，则……①，在RtΔAFE中，，……②，①－②得∵∴，，，故选D．四、猜想法［例5］计算解析：可先考虑简单的

3、情况，若n=1，则，n=2，则=102．由此可猜想原式=10n，∵只要将原式中变成，于是有原式=．五、拆数法［例6］计算解析：直接计算，比较麻烦，可利用“拆数法”，把原式后面的3拆成：3=1＋1＋1=1949，而恰好依次补在三个括号内，则原式．六、换元法［例7］计算解析：若用通分再相乘、相减，其计算量是相当惊人，但经仔细观察发现括号内部分分数是相同的，故采用换元法，即令：，．则原式．七、面积法［例8］如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（）A

4、.B.C.D.解析：由于P是CE上任意一点，因此PR与PQ的值都不是固定不变的，不能分别求出PR与PQ，但我们可以运用面积法把ΔBCE分割成两个三角形，即ΔPBE与ΔPBC．现解答如下：连结BP，，，．而，，∴．故选A．八、裂项法［例9］计算解析：如果运用常规法通分，则运算惊人，但仔细观察会发现所给每一式有如下规律：所以原式．九、配对法［例10］已知：．求下列式子的值：．解析：∵，则，，即：，∴原式．十、估算法［例11］如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数的图象上，则点E的坐标是（）A.B.C.D

5、.解析：本题如果受精确计算思维定势影响的话，往往是设大正方形OABC的边长为1，小正方形ADEF的边长为a，根据题意可知点E的坐标为（1＋a，a）代入．得然后求出a值，而其实本题只要勤思考，用估计的方法则显得十分简捷，从图中不难发现点E的横坐标在1到2之间，纵坐标在0到1之间，对四个备选答案进行比较只有A符合，故选A．十一、补形法［例12］在等腰直角ΔABC中，AB=BC=1，M是BC的中点，CE⊥AM，垂足为E，延长CE交AB于F，则ΔMBF的面积等于_____________．解析：根据题目的特点，可将等腰直角ΔABC补成一个正方形（如图），

6、延长CF交BD于G，则可证明ΔACM≌ΔCBG，即G为BD的中点，再由ΔBGF∽ΔACF，得，从而，又因为M为BC的中点，所以．十二、构造法［例13］计算：．解析：由于所给式子较长，分母较大，直接通分计算比较麻烦，可以构造与原式有联系的图形，利用图形使问题简单化，得到计算结果．设正方形的边长为1（如图），由于该正方形的面积为1，显然有，，由此规律可知：．十三、转化法［例14］方程的正根的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：本题如果采用去分母的方法，转化为一个一元三次方程，但这个方程难转化为一元一次方程或一元二次方程来求解，但利用转化思

7、想求解就显得容易，设．在同一坐标系中画出抛物线与双曲线（x>0）的图象（如图），易知没有交点，故没有正根，即选A．