第5讲 与圆有关计算

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1、第5讲与圆有关的计算第一部分考点搜索（一）正多边形和圆：1.各边相等，也相等的多边形是正多边形2.每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示3.每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的三角形【注意：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】（二）弧长与扇形

2、面积计算⊙o的半径为R，弧长为l，圆心角为n，扇形的面积为s扇，则有如下公式：L=S扇==【注意：1.以上几个公式都可进行变形，2.扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择3.圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】（三）.圆柱和圆锥：1.设圆柱的高为l,底面半径为R则有：⑴S圆柱侧=⑵S圆柱全=⑶V圆柱=2.设圆锥的母线长为l，底面半径为R高位h，则有⑴S圆柱侧=⑵S圆柱全=⑶V圆柱=【注意:1.圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系2.注意圆锥的侧面展开

3、圆中扇形的半径l是圆锥的扇形的弧长是圆锥的】第二部分典例精析考点一：正多边形和圆例1（2012•咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．分析：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．解答：解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角

4、形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-．故选A．同步拓展1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a22.（2012•娄底）如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，C

5、D⊥MN，则图中阴影部分的面积是（　　）A．4πB．3πC．2πD．π小结：考点二：圆周长与弧长例2（2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）A．10πB．C．D．π考点：弧长的计算；勾股定理．专题：网格型．分析：由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．解答：解：如图所示：在Rt△ACD中，AD=3，

6、DC=1，根据勾股定理得：AC==，又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为l=π．故选C同步拓展（2012•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为）π（结果用含有π的式子表示）考点：弧长的计算；旋转的性质．分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针

7、旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．故答案为：（4+）π．考点三：扇形面积与阴影部分面积例3（2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作．若

8、△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（　　）（参考数据：≈1.414，≈1.732，π取3.14）A．0.64B．1.64C．1.68D．0.36考点：扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；正方