衍生金融工具的风险分析(2)：欧式期权

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1、金融风险理论与模型衍生金融工具的风险分析（2）：欧式期权4.1B-S模型的理论基础弱式有效市场与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说（EMH），该假说认为:前提：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。推论：证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。只有新信息才能引起价格的变动，而新信息是不可预测的，故价格的变化不可预测。价格变化（回报）不可预测，等价于回报是相互独立的。EMH根据市场对信息集包含的信息进行分类：弱式、半强式和强式弱式有效市场：市场价格已经包含了历史上所有的交易信息（价

2、格和交易数量等）。EMH与可用马尔可夫过程（MarkovStochasticProcess）如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后效性”，其未来价格的概率分布与历史无关。衍生资产的定价问题的关键：标的资产的波动的假设。B-S模型假设：资产价格的波动服从几何布朗运动，它是一种特殊的马尔可夫过程。4.2维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性（不可预测性），这种特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一种。对于随机变量w是Wienerprocess，必须具有两个条件：在某一小

3、段时间Δt内，它的变动Δw与时段Δt满足（4.1）2.在两个不重叠的时段Δt和Δs,Δwt和Δws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！（4.2）有效市场满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量ΔwT的满足证明：若Δt→0，由（4.1）和（4.2）得到（4.3）（4.4）所以，的分布性质为以上得到的随机过程，称为维纳过程。程序：维纳过程的模拟%假设初始点为0，由标准正态分布产生随机数300，这样将1个单位时间等分为300个等分rnd=random('nor

4、m',0,1,300,1);%建立初始的零向量，用来放置计算的结果w=zeros(1,300);fori=1:299w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/300)^0.5;endx=[1:1:300];wplot(x,w)B-S模型证明思路ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式4.3伊藤引理一般维纳过程(GeneralizedWienerprocess)可表示为（4.5）显然，一般维纳过程的性质为一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函

5、数，扩展后得到的即为ITO过程B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动，不妨令省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程（4.6）目的：证券的预期回报与其初始价格无关。思考：一般维纳过程的缺陷若将价格变化表示为伊藤引理：若某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）（令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格）则f(x,t)的变动过程可以表示为（4.7）证明：将（4.7）离散化由（4.1）知利用泰勒展开，忽略高阶项，Δf(x,t)可以展开为（4.8）因此，（

6、4.8）可以改写为（4.9）保留1阶项，忽略1阶以上的高阶项即Δx2不呈现随机波动！（4.10）由（4.10）可得（4.11）由（4.11）得到（4.12）由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即当Δt→0时，由（4.9）可得■命题：设当前时刻为t，若股票价格服从几何布朗运动则T时刻股票价格满足对数正态分布4.4几何布朗运动与对数正态分布令则这样由ITO引理得到即由（4.1）则称ST服从对数正态分布，ST的期望值为所以4.5B-S模型的推导Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merto

7、n也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动4.5.1B-S微分方程假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为假设某投资者以1个单位的衍生证券空头和δ份的标的资

8、产多头来构造一个组合，且δ满足则该组合的收益为例：无套利定价与期权的风险对冲假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个