5升6小学奥数.第3讲

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1、行程之多人多次相遇第三讲教学目标行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，其中多人多次相遇问题是行程问题中的难点，本讲从一般的相遇与追及问题出发，讨论在环形线路、变速变向等多种行程问题，并引伸到与行程问题相类似的钟面问题。1.回顾火车过桥、流水行程等问题；2.环形路线上的相遇和追及问题；3.速度行程问题与比例关系；4.钟面上的行程问题。专题回顾【例1】一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。【分析】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：顺水逆水时间48千米16千米5小时32

2、千米24千米比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16×2=32（千米），这样船5小时一共顺水航行18+32=80（千米），船顺水速为80÷5=16千米，船逆水速为16÷2=8（千米）。船静水速为（16+8）÷2=12（千米）。【例2】甲、乙二人分别从、两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求、两点间的距离为多少米？【分析】（法一

3、）画图分析知甲、乙速度比为：，第四次相遇甲乙共走：4×2－1＝7（个全程），甲走了：3×7＝21（份）在点，第五次相遇甲乙共走：5×2－1＝9（个全程），甲走了：3×9＝27（份）在点,已知是150米，所以的长度是150÷6×（3+7）＝250（米）。（法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（2×4－1）×3÷20余数为1则在的位置，第五次相遇：（2×5－1）×3÷20余数为7则在的位置，表示速度基数，  ，（米），即全程为250米。【拓展】（08年首届奥数网杯）电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知比的速度快，根据推算，第次相遇点与第次相遇点相距58厘米，这条

4、轨道长_厘米。【分析】、两车速度比为；第次相遇点的位置在：；第次相遇点的位置在：所以这条轨道长（厘米）经典精讲环形跑道行程【例1】如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？【分析】当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有米长。当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（米）需（分），此时甲走了（条）边，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走条边就可以看到乙了，即甲从出发走条边后可看到乙，共需（分），即分

5、秒。【例1】甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形，其中米，米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（、边上视为静水），两人第一次相遇在边上的点，，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？（5次）【分析】设乙的速度为米/秒，则可列得方程：解得：。所以甲的速度为米/秒。甲游一圈需要秒，乙游一圈需要秒。5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多秒。多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈。所以两人共相遇了5次。【例2】（2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动

6、）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点出发，那么当两个机器人在跑道上第迎面相遇时，机器人甲距离出发点点多少厘米?【分析】第一次在点相遇，甲、乙共跑了400厘米(见左下图)。第二次在点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米(见右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间(400+700+700)÷(6+

7、4)=180(秒)，甲跑了6×180=1080(厘米)，距点400×3—1080=120(厘米)。注：处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法——分段考虑。【例1】（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同时从点出发，甲沿长方形逆时针爬行，乙沿逆时针爬行．若，，，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少?【分析】很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端，那么这是这