回归分析的基本知识点及习题

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1、回归分析的基本知识点及习题　　本周难点：　　（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.　　（2）掌握回归分析的实际价值与基本思想.　　（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.　　（4）残差变量的解释；　　（5）偏差平方和分解的思想；　　　１．回归直线：　　如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。　　求回归直线方程的一般步骤：　　①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回

2、归系数→③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.　　2.回归分析：　　对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。　　建立回归模型的基本步骤是：　　①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；　　②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.　　③由经验确定回归方程的类型.　　④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；　　⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.　4.残差变量的主要来源：　　（1）用线性回归模型近

3、似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差包含在中。　　（2）忽略了某些因素的影响。影响变量的因素不只变量一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在中。　　（3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的

4、的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在中。上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。二、例题选讲　　1为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：家庭编号12345678910xi（收入）千元0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8yi（支出）千元0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2

5、）若二者线性相关，求回归直线方程.解（1）作出散点图：观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系.（2）=(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,=（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42，=≈0.8136，=1.42-1.74×0.8136≈0.0043，∴回归方程=0.8136x+0.0043.2下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几

6、组对照数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？解（1）散点图如下图:（2）==4.5,==3.5=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.=32+42+52+62=86∴===0.7=-=3.5-0.7×4.5=0.35.∴所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.（3）

7、现在生产100吨甲产品用煤y=0.7×100+0.35=70.35，∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.3科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.年平均气温12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量748542507813574701432（1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系.解（1）作出散点图如图所示，(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关

8、系.4在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：温度(x)010205070溶解度（y)66.776.085.0112.3128.0由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程.解=30,==93.6.=≈0.8809.=-=93.6-0.8809×30=6