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《1990考研数一真题解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)过点且与直线垂直的平面方程是___x-3y-z+4=0__________.(2)设为非零常数,则=_____________.(3)设函数则=________1_____.(4)积分的值等于_____________.(5)已知向量组,则该向量的秩是_____2________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)设是连续函数,且,则等于(A)(A)(B)(C)(D)(2
2、)已知函数具有任意阶导数,且,则当为大于2的正整数时,的阶导数是(A)(A)(B)(C)(D)(3)设为常数,则级数(C)(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与的取值有关(4)已知在的某个领域内连续,且,,则在点处(D)(A)不可导(B)可导,且6(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解,、是对应齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解(一般解)必是(B)(A)(B)(C)(D)三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)求.解：(2)设,其
3、中具有连续的二阶偏导数,求.解：(3)求微分方程的通解(一般解).解：特征方程为的跟为.对应齐次方程的通解为，其中为任意常数.设原方程的特解为代入原方程得.因此，原方程的通解为四、(本题满分6分.)求幂级数的收敛域,并求其和函数.解：因为所以6显然幂级数在时发散，故此幂级数的收敛域为又五、(本题满分8分)求曲面积分其中是球面外侧在的部分.解：令其法向量与z轴的负向相同.设S和S1所围成的区域为Ω，则由奥--高公式有而所以六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且.证明在内
4、至少存在一点,使得.证：因且不恒为常数，故至少存在一点，使得于是或现设，则在上因满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点，使得对于情形，类似地可证得此结果.七、(本题满分6分)6设四阶矩阵,,且矩阵满足关系式,其中为四阶单位矩阵,表示的逆矩阵,表示的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.解：因故因此八、(本题满分8分)求一个正交变换,化二次型为标准形.解：二次型的矩阵A=，由A的特征值为对于从而可取特征向量及与P1正交的另一特征向量对于取特征向量6将上述相互正交的特征向量单位化，得故在正交变换下，二次型.
5、九、(本题满分8分)质点沿着以为直径的半圆周,从点运动到点的过程中受变力作用(见图).的大小等于点与原点之间的距离,其方向垂直于线段且与轴正向的夹角小于,求变力对质点所作的功.解：由题意，变力F=-yi+xj.圆弧AB的参数方程是变力F所作的功6十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1)已知随机变量的概率密度函数,则的概率分布函数_______.(2)设随机事件、及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若表示的对立事件,那么积事件的概率_0.3______.(3)已知离散型随机变量服从参数为
6、2的泊松(Poisson)分布,即,则随机变量的数学期望___4____.十一、(本题满分6分.)设二维随机变量在区域内服从均匀分布,求关于的边缘概率密度函数及随机变量的方差.解：的联合概率密度函数是因此X的边缘概率密度函数是6
