12.3角的平分线的性质

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1、12.3角的平分线的性质如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？探究ADCBE根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCENOMCENM探究２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．如图：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠

2、形成的三条折痕，你能得出什么结论？AOBAOBCDEP探究可以看出，第一条折痕OC是∠AOB_________第二次形成了____条折痕，分别为__________,它们是角平分线上的一点到∠AOB两边的_______这两个距离_______平分线2PD、PE距离相等相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等由此我们得到角平分线的性质定理：你能用三角形全等证明这个性质吗？如何证明几何命题？：1、明确命题中的已知和求证；2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角的平分线上的点到角的两边的距离相等AOBCDEP已知：OC是∠AOB

3、的平分线，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PEOABED思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?CPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。BACPMN例题展示：.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D、E、F，BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF，即点P到三边AB

4、，BC，CA的距离相等问题问题：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？前面我们学过角平分线上的点到角的两边的距离相等，那么倒过来考虑：到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？猜想抽象问题P已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？证明证明:连接OC∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，PO＝PO，PD=PE，∴Rt△PD

5、O≌Rt△PEO（HL）∴∠POD＝∠POE.∴点P在∠AOB的平分线上.PC结论P角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．∴OP平分∠AOB．问题解决如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）解：（1）作夹角的角平分线OC，（2）截OD=2.5cm,D即为所求。CD典型例题例:如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P在∠BAC的平分线上。证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．∵B

6、M是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE．同理PE＝PF．∴PD＝PF．∴点P在在∠BAC的平分线上．小结性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。