功能梯度材料结构拓扑优化设计研究

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功能梯度材料结构拓扑优化设计研宄2010年12月第28卷第6期西北工业大学JoumalofNorthwestemPolyteclmicalUniversityDec.2010V01.28NO.6功能梯度材料结构拓扑优化设计研究邱克鹏，张卫红(西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室,陕西西安710072)摘要:在航天飞行器材料与结构的设计中，提高性能和减轻重量始终是两大主耍任务.功能梯度材料(FGM)的概念是针对高速航天器中材料的应力缓和问题提出的;拓扑优化则是现代优化设计中减重设计的重要手段.文章根据拓扑优化的概念和功能梯度材料的概念之间存在的紧密联系，本质上都考虑了材料属性的连续性改变，基于SIMP模型，并采用凸规划求解策略以及周长控制方法，实现了功能梯度MBB梁和功能梯度夹层结构中夹芯的拓扑构型设计，设计 结果揭示了功能梯度材料中性能指数和材料模型对优化构型中材料分布的影响规律.关键词:功能梯度材料，夹层结构，拓扑优化,SIMP模型,MBB梁中图分类号:0342文献标识码：A文章编号:1000-2758(2010)06-0851-07功能梯度材料(FGM——FuIlctiOnauyGradedMaterials)是指构成材料的要素(组成，结构)沿厚度方向巾一侧向另一侧呈连续梯度变化，从而使材料性质和功能也呈梯度变化的一种新型材料.目前对由FGM组成的功能梯度结构展开分析己成为研究热点，国内外学者分别采用理论推导和数值仿真的方法分析功能梯度板的结构响应.夏贤坤和沈惠申...基于Reddy高阶剪切变形理论及广义Karman型方程，对功能梯度材料剪切板热屈曲后的非线性振动进行了分析;曹志远和程国华结合半解析有限元与梯度有限元，形成了一种半解析梯度有限元来求解功能梯度材料板件问题.Zenkour【3—提出了功能梯度夹层板的正弦剪切变形理论，基于此理论，并结合三阶剪切变形，一阶剪切变形以及经典板理论系统地研究了功能梯度夹层板的变形刚度，应力强度，自由振动以及失稳响应，从而揭示了材料的分布和体分比以及功能梯度夹层板的尺寸对结构响应 的影响规律;U等人15采用Ritz方法分析了对称和反对称功能梯度夹层板的三维自由振动，通过对其收敛性的研宄，揭示了收敛速度和体分比以及材料性能分布之间的关系;Kashtalyan&Menshykova通过比较研究，揭示了在横向载荷的作用下，带梯度夹芯的夹层板较之带均匀夹芯夹层板来说，能够消除沿面板和夹芯之间界面中面内正应力和剪应力的不连续性;Pradhan&Murmu采用改进的微积分方法分析了功能梯度梁和功能梯度夹层梁的热机械振动响应，并实现了振动响应的参数化研宄;Etemadi等人通过三维有限元数值模拟，分析了带功能梯度夹芯的夾层梁的低速冲击行为，并和带均质夹芯夹层板相比较，最大接触力增大了，而最大应变却降低了.拓扑优化是在给定的设计域内确定材料的最佳分布，材料分布是由设计变量密度函数控制的.拓扑优化问题通常采用有限元离散方法数值求解，当设计域被划分成n个有限单元，密度函数也相应地离散成逐个单元常数密度函数，并允许密度变量遍历所有中间密度连续变化.因此，从这个意义上来讲，拓扑优化的概念和功能梯度材料的概念右着紧密联系，本质上都考虑了材料属性的连续性改变.NeUiSilva&Paulino-9在传统SIMP材料模型的基 础上提出丫一种新的材料模型FGM—SIMP(Func.tionallyGradedMaterial-SolidlsotropicMaterialwithPenalization)，并采用准则法实现了功能梯度结构的拓扑优化设计;陆丹和刘毅采用双向渐进拓扑优化(BESO)方法，引入了许用应力，以实际应力与许用应力之比作为单元增删的标准，结合梯度单元法收稿日期2009.12.18基金项0:国家自然科学基金(11002112)资助作者简介:邱克鹏(1975—)，西北工业大学讲师，博士，主要从事材料和结构优化设计方面的研宄.西北工业大学第28卷实现了对功能梯度材料的拓扑优化;Xia&Wang-11J基于水平集方法,以体分比和结构边界为设计变量，实现了功能梯度结构的材料性能和拓扑布局的并行优化设计.这些工作对功能梯度结构的拓扑设计做了有意义的初步探索，没有进一步研宄功能梯度材料性能指数的改变和不同材料模型对拓扑优化结果的影响规律.本文分别采用文献［8］和文献［9］中的功能梯度结构材料模型，基于传统的SIMP模型，以功能梯度MBB梁和夹层结构的刚度最大为H标，在满足给定体积约束的条件下，采用凸规划求解策略以及周 长控制方法"引，设计功能梯度MBB梁和功能梯度夹层结构中夹芯的拓扑构型，在材料性质和功能呈梯度变化的同时，实现功能梯度结构的减重设计.1功能梯度MBB梁拓扑设计1.1材料模型在FGM结构设计域内，材料的属性按照给定的指数关系在一定的方向上变化，新的FGM—SIMP材料模型如下19E=pPEoe毗(1)式中，是平均杨氏模景;Eo是实体杨氏模景;or和JB是定义FGM域内材料性能改变的参数;和Y是FGM结构设计域内任意点的坐标值.FGM结构设计域经过有限元离散后，为了保证甲▲元间材料性能的连续性，NeUiSilva&Paulino【9和陆丹和刘毅分别指出采用梯度有限元(gradedfi—niteelement)，即在有限单元内部采用有限单元形函在本工作中，允许密度变量从0到1遍历所有中间密度连续变化，采用灵敏度分析和数学规划算法有效求解材料分布问题，并采用周长控制方法消 除优化过程中出现的棋盘格现象.FGM结构设计域离散后，每个单元的材料性能为该单元中每个节点处性能的平均值，如下所示FmE=Ee叫例(2)HI耳式中，是FGM域内第f个单元的平均杨氏模量；是实体杨氏模量;和口是定义FGM域内材料性能改变的参数;m是第i个单元中节点个数;和是FGM域内第i个单元中第.『个节点的坐标值.1.2优化模型和灵敏度计算在满足给定体积约束的条件下，以功能梯度MBB梁的刚度最大为目标的优化模型如下plP.，P2inp}TRCmean=UTK(p)£，S.t.K(p)U=F [P’fVop(P)=Zz?(pi—p^l)<_P0<Pm匕P21(i=l，2,...，)(3)式中，C是功能梯度MBB梁的平均柔顺度;n是FGM域内单元的个数，也是设计变景的个数;pi是第i个单元的设计变量;是第个单元的体积是给定体分比，在本工作中取0.5;Vo是FGM结构设计域的总体积;p=10是正小参数，为了避免在优化中单元刚度矩阵的奇异;P(p)是二次周长约束，用来消除优化过程中出现的棋盘格效应;Z.为相邻单元i和i+1的公共边长;p为己知周长约束上限.根据(2)式的材料模型，功能梯度MBB梁的平均柔顺度对设计变景P的灵敏度可以写成以下形式鲁一uT舰OK=JEPi，/至ledp’’m—=一卫=一卫c(4)式中和C分别是第i个有限单元的节点位移矢量和柔顺度.由此可见，功能梯度MBB梁的平均柔顺度灵敏度等于FGM结构设计域内有限单元应变能乘以1个负的比例因子，取惩罚指数PM.1.3优化结果1.3.1功能梯度MBB梁设计域 如图1所示，MBB梁的高R=20cm，长度L=120em，总单元个数为40x120=4800.实体杨氏模量为2xlO.Pa，、泊松比为0.29.左下端固定，右下端简支，上端中间作用一向下集中载荷F=1000N.图1MBB梁设计域及其边界条件第6期邱克鹏等:功能梯度材料结构拓扑优化设计研究?853?为了比较FGM结构设计域内材料性能改变的对优化结构的影响，对参数和卢分别取不同的值：①a=0,JB=O;②=0.01，卢=0.01;@=0.02，0;④=0.06,卢=0;⑤=0,卢=0.02;®=0，=0.06;⑦&=0，卢=一0.06.1.32=0=0优化构型如图2所示，由(1)式可知，在这种情况|，MBB梁事实上是一种均质结构，所以优化结果也是对称的.图2均质MBB梁优化构型1.3.3=0.01=0.01由图3(a)可知，MBB梁中材料模量同吋沿着 和Y方向由弱至强星梯度变化，图3(b)显示了其优化构型，并可以看到在材料呈梯度变化时，左，右两侧材料是呈不对称分布.与图2相比较可知，沿着功能梯度MBB梁中材料模量增大的方向，在优化的拓扑结构中材料用量确是在逐渐减少.(a)功能梯废材料图(b)显示功能梯度材料的优化构型图3=0.01=0.01功能梯度MBB梁1.3.4=0.02,卢=0由图4⑻可知，MBB梁中材料模量沿着方向由弱至强呈梯度变化，图4(b)显示了其优化构型，材料逐渐朝左侧分布，在材料呈梯度变化时,优化构型中材料模量较弱的部分材料分布逐渐增多.与图3(b)相比较，在这种情况中，由于材料功能梯度仅沿方向变化，且性能变化指数也较大，所以材料分布较之上一种情况來说更多地分布在左侧的材料模量较弱的部分.1.3.5=0.06,U=0由图5⑻可知，在这种情况下,MBB梁中材料模量沿着方向由弱至强呈梯度变化，但低模量材料占主要部分，因此在图5(b)显示的优化构型中，材料主要分布在左侧，图中也仅显示出模景较高材 料的分布.与图4(b)相比较，由于性能变化指数较大，低模量材料占主要部分,导致功能梯度MBB梁中材料主要分布在左侧,拓扑优化构型也发生改变.(a)功能梯度材料图(b)显示功能梯度材料的优化构型图5=0.06，:0功能梯度MBB梁1.3.6=0，JB=0.02 由图6(a)可知，MBB梁中材料模量沿着Y方向由弱至强呈梯度变化，图6(b)显示了在材料呈梯度变化时的优化构型，材料左右对称分布.观察阁2和图6(b)可知，两者拓扑优化构型仅存在细微差别.(a)功能梯度材料图(b)显示功能梯度材料的优化构型图60t=0，=0.02功能梯度MBB梁1.3.7=0,=0.06与图6⑻相比较，图7⑻中MBB梁中材料模景也沿着Y方向由弱至强呈梯度变化，但是相对低模量材料多于高模量材料，图7(b)显示了在材料呈梯度变化时的优化构型，材料左右对称分布.与图2和图6(b)比较可知，更多的材料也逐渐分布于低模量区域，以满足在相同的体分比下，功能梯度MBB梁的刚度最大.7=0,卢=0.06(a)功能梯度材料图(b)显示功能梯度材料酌优化构型(a)功能梯度材料图(b)显示功能梯度材料的优化构型園功能梯度MBB梁图4=0.02,卢=0功能梯度MBB梁1.3.8=0，卢=一0.06西北工业大学第28卷与图7⑻相比较，图8(a)中MBB梁中材料模量沿着Y方向由强至弱呈梯度变化，同样相对低模量材料多于高模量材料，图8(b)显示了在材料呈梯 度变化时的优化构型，材料左右对称分布.与图2和图7(b)比较可知,更多的材料分布于功能梯度MBB梁的上部低模量区域，随着材料模量梯度增加方向，材料量逐渐减少.(a)功能梯度材料图(b)显示功能梯度材料的优化构型图8=0,=-0.06功能梯度MBB梁2功能梯度夹层结构拓扑设计2.1材料模型夹层结构是由相对厚的轻质，弱芯体结构材料隔开2块刚强度较高的薄面板，这种结构不仅具存轻质的优点，而且还有较高的抗弯刚度和抗弯强度.然而在这些夹层结构中，面板和夹芯之间机械性能的不连续性将对夹层结构产生破坏，如果采用功能梯度夹芯，不仅能够降低面板和夹芯材料之间的热应力和残余应力，提高功能梯度夹层结构的机械性能,还能通过设计具有热防护等性能.本工作利用拓扑优化设计方法，在保证功能梯度材料结构性能连续性的基础上，对功能梯度夹层结构进行减重设计.采用文献［8］中功能梯度夹芯的材料模型;在对功能梯度夹芯进行存限元离散后，使用相同的优化求解策略和棋盘格控制方法，每个单元的材料性能为该单元中每个节点处材料性能的平均值.为丫比较优化结果，分别对带均质（H梯度夹芯在 中面，上界面和下界面的杨氏模量，假设功能梯度夹芯在中面，上界面和下界面的杨氏模量分别为0.91xl0.Pa，E=2xl0.Pa和E—=0.91x10.Pa，其沿夹层结构厚度方向变化如图9所示.10｛醚琏R魁0霉理替10HCAC...SC 0.365>4/，功能梯度夹芯的杨氏模量图9沿功能梯度夹芯厚度方向杨氏模量的变化2.2优化模型和灵敏度计算度夹芯设计域内体分比取50%.根据(5)式的材料模型，带均质夹芯夹层板的平均柔顺度对设计变量P的灵敏度计算如下式鲁二一鲁=一啪ptoptoptpj=一卫=一卫c(9)根据(6)式的材料模型，带对称功能梯度夹芯夹层板的平均柔顺度对设计变量P的灵敏度计算第6期邱克鹏等:功能梯度材料结构拓扑优化设计研究?855?如下式鲁=一鲁一嘲il”*kioi——=—ucole—i-ucom一_’，’，f啪茎(+1)(10)根据(7)式的材料模型，带反对称功能梯度夹芯夹层板的平均柔顺度对设计变量P的灵敏度计算如下式鲁=鲁一鲁一卫啪iAiOuiPt——=——ucm__u㈣一〜udp” 耋㈩(11)(10)式和(11)式中，i’n是第i个单元中节点个数;，｛是第i个单元中第_『个节点的坐标值.取惩罚因子P=4o2.3优化结果假设带不同夹芯的功能梯度夹层结构具有相同的几何尺寸:长度Z=60cm，夹芯高度2h=20crll，上下面板的厚度f=l伽.夹芯单元个数120x40=4800,上下面板单元个数分别120x2=240.功能梯度夹层结构左K端固定，右下端简支，上表面作用向下均布线载荷g=100N/cm.2.3.1带均质夹芯的夹层结构如图10(a)所示，夹芯呈均质分布，杨氏模景=0.91xl0.Pa，上面板的杨氏模量E=2xlO.Pa，下面板的杨氏模量E=0.91xl0.Pa.巾图to(b)可知，巾于夹芯是巾均质材料组成，且有上，下非设计域面板，所以在夹芯的优化构型中，材料在两侧对称分布，夹芯中间出现空隙.2.3.2带反对称夹芯的夹层结构如图11(a)所示，夹芯呈反对称分布，上面板的杨氏模量£”=2><10^，下面板的杨氏模量已= 0.91xl0.Pa.由阁11(b)可知，由于夹芯模量沿，，方向呈反对称梯度分布，与2.3.1中算例相比较，在夹芯的优化构型中，在功能梯度夹芯中低模量处出现材料，将左右两侧连接起来对称分布.2.3.3带对称夹芯和面板的夹层结构如图12(a)所示，夹芯和面板呈对称分布，上，下面板的杨氏模量为E”=3.1算例中均质夹芯，在功能梯度夹芯中间出现更大空隙，即材料分布更少.2.3.4带对称夹芯的夹层结构?856?西北工业大学第28卷如图13(a)所示，夹芯呈对称分布，上面板的杨氏模量E=2xlOPa，下面板的杨氏模量E=0.91xlO.Pa.巾图13(b)可知，上面板材料杨氏模量大于下面板的杨氏模量，这也影响到功能梯度夹芯的优化布局，与2.3.3中算例相比较，在夹芯的优化构型中，在功能梯度夹芯中间与下面板相连处右材料分布.⑷设计域及其边界条件(b)显示功能梯度材料的优化构型 图12带对称夹芯和面板的夹层结构参考文献：(a)设计域及其边界条件(b)显示功能梯度材料的优化构型图13带对称夹芯的夹层结构3结论本文根据拓扑优化和功能梯度材料之间在概念上存在的紧密联系，采用凸规划求解策略以及周长控制方法，允许密度变量遍历所右中间密度连续变化，实现了功能梯度结构的拓扑优化设计.比较不同设计模型的优化结果可以看出，材料分布趋向于功能梯度结构中材料性能较弱部分.同时也表明，通过拓扑优化设计，在功能梯度结构中，我们可以更加充分合理地利用功能梯度材料，以达到提高性能和减轻重量的目的.[1]夏贤坤，沈惠申.功能梯度材料剪切板热屈曲后的非线性振动.振动工程,2008,21(2):120—125XiaXK,ShenHS.NonlinearVibrationofThermallyPostbucldedFGMPlates.JournalofVibrationEngineering,2008,21(2):120—125(inChinese)[2]曹志远，程国华.功能梯度材料板件三维分析的半解析梯度有限元法.计算力^,2007,24(6):865—868CaoZY.ChengCH.Semi.AnalyticalGmdiemFiniteElememMe&odfor3DAnalysesofFunctionallyGradedMaterialPlates. CllineseJoumalofComputationMMechanics,2007,24(6):865_868(inChinese)f3]ZenkourAM.AComprehensiveAnalysisofFunctionallyGradedSandwichPlates:PartiDeflectionandStres〜s.Intema-tionalJournalofSofidsandStructures.2o05.42:5224—5242[4]ZenkourAM.AComprehensiveAnalysisofFunctionallyGradedSandwichPlates:Part2BuckHngandFroeVibration.InternationalJoumalofSolidsandStructures.2o015.42:5243_5258[5]LiQ，IuVP，KouKP.Three?Dimemion〜VibrationAnalysisofFunctionallyGradedMaterialSandwichPlates.Joumalof第6期邱克鹏等:功能梯度材料结构拓扑优化设计研究?857?SoundandVibration，20o8,311:498一515[6]Kash〜yanM，MenshykovaM.Three—DimensionalElasticitySolutionforSandwichPanelswithaFunctionallyGradedCore.CompositeStructures，2OO9,87:36〜43]PradhanSC，MurmuT.The〜o—MechanicalVibrationofFGMSandwichBeamunderVariableElasticFoundation8UsingDir.entlalQuadratureMethod.JournalofSoundandVibration，2009,321:342 〜362[8]EtemadiE，XfashiKhatibiA，TakaffoliM.3DFiniteElementSimulationofSand〜chPanelsthaFunctionallyGradedCoreSubjectedtoLowVelocityImpact.CompositeStructures，2009,89:28〜34[9]NelliSilvaNS,PaulinoGH.TopologyOptimizationDesignofFunctionallyGradedStructures.The6thWorldCongressesofStructuralandMultidiseiplinaryOptimization，RiodeJaneiro，Brazil，2005[10]陆丹，刘毅.功能梯度材料拓扑优化研究.科技导报，2007,25(7):38-40LuD，LiuY.TopologyOptimizationforFunctionallyGradedMaterials.Science&TechnologyReview,2007,25(7):38—4|D(inChinese)[11]XiaQ,WangMY.SimultaneousOptimizationoftheMaterialPropertiesandtheTopologyofFunctionallyGradedStructures.Computer-AidedDesign,2008,40:660一675[12]ZhangWH,DuysinxP.DualApproachUsingaVariantPerimeterConstraintandF〜ieientSub?IterationSchemeforTopologyOptimlzation.ComputersandStructures,2003,81:2173-2181 [12]KimJH,PaulinoGH.IsoparametricGradedFiniteElementsforNonhomogeneousIsotropieandOrthotropieMaterials.ASMEJournalofAppliedMechanics，2002,69(4):502〜514ImprovingTopologicalDesigoftmproving^opologicalDesignotFGM(FunctionallyGradedMateria1)StructureQiuKepeng,ZhangWeihong(NorthwestemPolytechniealUniversity’Xi趴710072,China)Abstract:Aim.Theintroductionofthefullpaperreviewsanumberofpapersintheopenliteratureandthenpro.posesinitslastparagraphtheoudineofwhatwebelievetobeabettermethodoftopolo〜cMdesign，whichisex?plainedinsectionsland2.Theircoreconsistsof:(l)startingfromthefactthatthecloserelationshipbetweento一polo6caloptimizationandFGMconsidersthecontinuouschangeinmaterialproperties,weapplythesolidisetropicmaterialwithpenalization(SIMP)modeltodesigningthefunctionally_gradedMBBbeamandFGMsandwichstruc—ture;(2)weusetheconvexlinearoptimizationalgorithmandtheperimetercontrolmethodtodesignthetopolo〜calconfigurationofthecoreofanFGMsandwichstructure,thusachievingitsweightreductionwhilemaintainingits materialpropertiesandcontinuouschangeinfunctionalgrade.Thedesignresults，presentedinFigs.3through8andFigs.lOthrough13，andtheiranalysisshowpreliminarilythat:(1)thematerialdistributiontendstotheweakpartofanFGMstructure;(2)theconfigurationsthusdesignedareaffectedbypropertyindicesandFGMmodel;(2)ourtopolo〜caldesigncan，webelieve，bothreducetheweightofthematerialsofanaerospacevehicleanden-hancetlleirperformance.Keywords:functionallygradedmaterials,sandwichstructure,design,optimization,topology,solidisotropicma-terialwithpenalization(SIMP)model?MBBbeam