正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

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1、WORD文档下载可编辑正弦定理和余弦定理的应用举例专业技术资料分享WORD文档下载可编辑考点梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二

2、面角的度数．【助学·微博】　解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．专业技术资料分享WORD文档下载可编辑(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个

3、以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．考点自测1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．　解析　记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos120°，解得a＝10，故S＝×10×6×sin120°＝15.答案　152．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C

4、间的距离是________海里．解析　由正弦定理，知＝.解得BC＝5(海里)．答案　53．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/时．解析　由正弦定理，得MN＝＝34(海里)，船的航行速度为＝(海里/时)．答案　4．在△ABC中，若2absinC＝a2＋b2＋c2，则△ABC的形状是________．解析　由2absinC＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2abcosC相加，得a2＋b2＝2absin.又a2＋b2≥2a

5、b，所以专业技术资料分享WORD文档下载可编辑sin≥1，从而sin＝1，且a＝b，C＝时等号成立，所以△ABC是等边三角形．答案　等边三角形5．(2010·江苏卷)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则＋的值是________．解析　利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为＋＝6cosC，由余弦定理得＝6·，即a2＋b2＝c2.而＋＝＝·＝＝＝＝4.答案　4专业技术资料分享WORD文档下载可编辑专业技术资料分享WORD文档下载可编辑考向一　测量距离问题【例1】如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座

6、灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.(1)求证：AB＝BD；(2)求BD.(1)证明　在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.(2)解　在△ABC中，＝，专业技术资料分享WORD文档下载可编辑即AB＝＝(km)，因此，BD＝(km)故B、D的距离约为km.[方法总结](1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个

7、解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．(3)应用题要注意作答．【训练1】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解　如题图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝(千米)．在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，可得BC＝＝(千米)．在△ABC中，由余弦定理，