正弦和余弦定理应用举例

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1、1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①).上方下方2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.3.方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡度坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水

2、平长度之比(如图④，i为坡比).1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A.α>βB.α＝βC.α＋β＝90°D.α＋β＝180°解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知.答案：B2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西

3、10°.答案：B3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A.α，a，bB.α，β，aC.a，b，γD.α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.答案：A4.在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为m.解析：如图所示，设塔高为hm.由题意及图可知（200-h）·解得答案：5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河

4、的宽度为m.解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽度，在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河宽为60m.答案：60有关距离测量问题，主要是利用可以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为n个三角形来解决.某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC

5、＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离.【解】在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6，∠ACD＝45°，根据正弦定理有同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6，∠BCD＝30°，根据正弦定理得又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理有AB=所以炮兵阵地到目标的距离为1.某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多

6、少千米？解：如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，cosB=得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A有15千米.测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝

7、40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).【解】在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，故所求的塔高为米.2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与

8、D，现测得