正弦定理和余弦定理的应用举例

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1、《正弦定理和余弦定理的应用举例》发表在《学习报》2010-2011第9期总第1121期第2版2010年8月27日国内统一刊号CN14-00708/(F)邮发代码：21-79正弦定理和余弦定理的应用举例特级教师王新敞根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边角转化．解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理．1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径．即（其中R表示三角形的外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问

2、题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）.2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．第一形式，=，第二形式，cosB=利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.例1在ΔABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c．解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b

3、180°-(A+B)=75°，c=,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°，c=思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．例2△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.分析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边．证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC－=sinBsin（A+B）（cos

4、2B－cos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.思维点拨：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.例3在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=

5、a，再用正弦定理可求的值.解：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=．思维点拨：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.例4在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状．分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”．解：∵sinA=∴∴a=，∴b（a

6、2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）．∴（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）．∴a2=b2－bc+c2+bc.∴a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形．思维点拨：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键．若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.