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1、精品题库试题理数1.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 [答案]1.A[解析]1.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.2.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5 B.+ C.7
2、+ D.6 [答案]2.D[解析]2.设Q(cosθ,sinθ),圆心为M,由已知得M(0,6),则
3、MQ
4、====≤5,故
5、PQ
6、max=5+=6.3.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C.3 D.2 [答案]3.A[解析]3.解法一:设椭圆方程为+=1(a1>b1>0),离心率为e1,双曲线的方程为-=1(a2>0,b2>0),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲
7、线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2)cos60°=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,∴+=a·b≤
8、a
9、·
10、b
11、=×=×=,故+的最大值是,故选A.解法二:不妨设P在第一象限,
12、PF1
13、=m,
14、PF2
15、=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+===.∴==
16、=,易知-+1的最小值为.故=.故选A.4.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0[答案]4.A[解析]4.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.5.(2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），9)已知两定点和,动点在直线:上移
17、动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为( )A. B. C. D.[答案]5. B [解析]5. 要使离心率最大，即使最小，即长轴最短.由数形结合知：当直线与椭圆C相切时长轴最短，就最小.联立椭圆方程及直线方程得：，由可解得：（舍）或，此时，选B. 6.(2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，9)如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D.[答案]6.D[解析]6. 设，，因为点在椭圆上，所以，即，又四边形
18、为矩形，所以，即，解方程组得，，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，所以双曲线的离心率为.7.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，9）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点是椭圆的一个短轴端点，如果以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A． B． C． D．[答案]7. B[解析]7. 设椭圆C的方程为：，设直线、，由题意可得直线与直线与椭圆相交所得的弦长相等，联立直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，用代替k可得直线与椭圆C的方程
19、得，所截得的弦长为，两个弦长相等得，欲使以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，只需使方程有三个不同的正实根即可，令，则，又因为，所以只需使即可，整理得离心率的范围，又因为椭圆的离心率小于1，所以.8.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,6)已知，是椭圆两个焦点，P在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为( ) (A) (B) (C) （D）[答案]8. A[解析]8. 在中，由余弦定理可得：，反解得，又因为的面积为，因为当时面积最大，故的最大角为，所以可得
20、a=2b，又因为c=3，所以可得，椭圆方程为.9.(2014湖南株洲高三教学质量检测（一），6)在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则( ) (A)2 （B）3 （C） （D）[答案]9. A
