及其性质 椭圆

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1、第5讲椭圆一、【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.二、【经典例题精析】考点1椭圆的定义及其应用【5-1】已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点

2、，那么动点M的轨迹是(　　)A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【5-2】【河北省定州中学2017届高三上学期周练】已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则____________.【基础知识回眸】1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

3、F1F2

4、)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，【方法规

5、律技巧】1.涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.【新题变式探究】【变式一】已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是________．【变式二】【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】如图，为圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点．（1）求动点的轨迹方程；（2）记动点的轨迹为曲线，设圆的切线交曲线于两点，求的最大值．【综合点评】应用椭圆的定义，可以得到结

6、论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.考点2椭圆的标准方程【5-3】已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为()A.B.C.D.【5-4】求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离

7、为；【基础知识回眸】1.椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：【方法规律技巧】1．求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为(A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用．【新题变式探究】【变式一】求经过

8、点两点的椭圆标准方程.【变式二】求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程．【综合点评】　1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为．(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．(4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．考点3椭圆的几何性质【5-5】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（）A．B．C．D．

9、【5-6】设是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，（）A.B.C.D.【基础知识回眸】椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点,短轴顶点长轴顶点,轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为【方法规律技巧】1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题；2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.【新题变式探究】【变

10、式一】椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)A．B．C．D．【变式二】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关．【综合点评