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《行列式的计算技巧和方法总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、.WORD文档下载可编辑.计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做1、二阶行列式2、三阶行列式=例1计算三阶行列式解但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算上三角形行列式下三角形行列式对角行列式二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若技术资料整理分享.WORD文档下载可编辑.则.性质1行列式与它的转置行
2、列式相等,即注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2交换行列式的两行(列),行列式变号.推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3用数乘行列式的某一行(列),等于用数乘此行列式,即第行(列)乘以,记为(或).推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,.则.性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以
3、数后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.注:以数乘第行加到第行上,记作;以数乘第列加到第列上，记作.2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:技术资料整理分享.WORD文档下载可编辑.如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为
4、上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若,则例3（1）（第一、二行互换）.（2）（第二、三列互换）（3）（第一、二两行相等）（4）（第二、三列相等）例4（1）因为第三行是第一行的倍.（2）因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若,则技术资料整理分享.WORD文档下载可编辑.又.例6设求解利用行列式性质，有例7（1）（2）.例8因为而.因此.注:一般来说下式是不成立的.例9（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.（2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上
5、去,其值不变.技术资料整理分享.WORD文档下载可编辑.例10计算行列式.解先将第一行的公因子3提出来：再计算例11计算解例12计算解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.技术资料整理分享.WORD文档下载可编辑.注：仿照上述方法可得到更一般的结果:例13计算解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多.例14计算解从第4行开始，后一行减前一行：技术资料整理分
6、享.WORD文档下载可编辑.三、行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式,记为,再记称为元素的代数余子式.引理（常用）一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除外都为零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即或2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展
7、开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素,再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2在阶行列式中,任意选定行列,位于这些行和列交叉处的个元素,按原来顺序构成一个阶行列式,称为的一个阶子式,划去这行列,余下的元素按原来的顺序构成阶行列式,在其前面冠以符号,称为技术资料整理分享.WORD文档下载可编辑.的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标
8、.注：行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.定理2(拉普拉斯定理)在阶行列式中,任意取定行(列),由这行(列)组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.例15求下列行列式的值:（1）（2）解(1)(2)例16计算行列式解技术资料整理分享.WORD文档下载可编辑.例17计算行列式解例18求证.证技术资料整理分享.WORD文档下载可编辑.例19设D中元素的余子式
