测试点11(二次函数)

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1、二次函数1.二次函数的基本知识（1）二次函数解析式的三种形式：①一般式：②顶点式：③双根式：求二次函数解析式的方法：待定系数法。可根据题设的条件选用适当形式的：a.已知三个点坐标时，宜用一般式；b.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；c.若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式求更方便。（2）二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程式是，顶点坐标是.①当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，；②当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；当

2、时，。（3）二次函数当时，图象与x轴有两个交点、，。[例]已知二次函数满足，且的最大值是8，试确定此二次函数。[解法一]利用二次函数一般式。设，由题意得解之得所求二次函数为。[解法二]利用二次函数顶点式设抛物线对称轴为。即。又根据题意函数有最大值n=8，解之得，所以[解法三]利用双根式由已知的两根为，故可设即又函数有最大值8，解之得或（舍）所求函数解析式为。练习：1、设，且，则（）A.BC.D.2、若有负值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3、已知二次函数的顶点在第一或第四象限，且，则为增函数的区

3、间是（）A.B.C.D.4、若二次函数满足，则=_______。5、不等式对一切恒成立，则a的取值范围是_______。6、设，当时，恒成立，求a的取值范围。7、已知二次函数同时满足条件：；①；②的最大值为15；③的两根立方和等于17。求的解析式。8、已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为。（1）若方程有两个相等的根，求的解析式。（2）若的最大值为正数，求a的取值范围。2.实系数二次方程实根的符号与二次方程系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根一负根。[

4、注意]（3）中没有，因为。练习题：1、已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值区间是（）A.B.C.D.2、不等式的解集为，则函数的图象为（）3.①已知二次函数的解析式，求某单调区间；②已知二次函数的某一单调区间，求参数范围。这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图象。[例1]函数在上递减，则a的取值范围是____。[解]的对称轴为，且在上递减解得[例2]已知函数（为正常数），且函数与的图象在y轴上的截距相等。（1）求a的值；（2）求函数+的单调递增区间。[解]（1）由题意，（2）

5、+=当时，+=，它在单调递增；当时，+=，它在上单调递增。综上，结合+的图象可知，+的单调递增区间是。练习题：1、若函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A.B.C.D.2、是在区间上为减函数的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、若二次函数满足条件：①在上单调递增，②对任意实数（）都有，则__________,_______________。（只需填上你认为正确的一组即可，不必考虑所有情况）4.一元二次方程根的分布（1）如在开区间（m，n）内方程

6、（的情况）有两个实数根，利用草图采用数形结合的方法得出（2）如在（m，n）内有且只有一个实数根需满足（需检验）或。[例1]方程在（-1，1）上有实根，求的取值范围。[解]本题要分在（-1，1）上有两解和一解两种情况来解。解法一：设（1）方程在（-1，1）上有两解，，解得（2）方程在（-1，1）上有一解，则或或解得由（1）（2）得解法二：本题也可以从函数的值域入手。由当时，，当时，，可得同样结论。（3）若在闭区间[m，n]内方程有且只有一个实数解，利用就不行了，因为满足此不等式方程也可能有两个解，为避免出

7、现上述错误，可先利用求得开区间（m，n）结果，再令x=m，x=n，检查端点的情况。[例2]已知函数。（1）若关于x的方程的解都在区间（0，1）内，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间上单调递增，求正实数a的取值范围。[解]（1）令方程的两根为负，（2）函数在上单调递增，在上大于零且单调递增即练习题：1、关于x的方程的两实根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是_________。5.二次函数在闭区间上的最值（1）二次函数在区间[m，n]上的最值问题。一般情况下，需要分三种情况讨论解决。（2）当

8、，在区间[p，q]上的最大值M，最小值m，令，①若，则；②若，则；③若，则；④若，则。[注意]在区间同时讨论最大值和最小值需分四种情况进行讨论。（3）对二次函数在区间[m,n]上的最值问题，有以下结论：①若，则②若，则，。（时可仿此讨论）。[注意]=2，即集合中元素的最大值。[例]已知函数在区间上的最大值为1，求实数a的值。[解]的最大值可能产生在抛物线段的顶点或端点处。即函数的最大值只能在或处取得。（1）令，解得，则故的最大值不可能在处取