浅谈数形结合思想在解题中的运用

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1、浅谈数形结合思想在解题中的运用王克卓数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，且数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。显然数形结合，不是两者简单的堆砌，而是有机的结合，“数”具有精确性定特征，它可以阐明“形”的某些属性，并且可以通过运算法则、公式进行运算，比较具体（虽然有时却比较繁复），

2、“形”具有几何的直观性，它也可以表示数之间的某些关系，“形”可以通过逻辑推理得到一些结果，其推理过程较简捷（但可能有时比较抽象）。但两者结合，各取所长，则往往威力巨大，因此华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一,高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的问题形式出现，能很好地培养和发展学生的数形结合思想。新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练

3、学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。一、利用数形结合解决集合问题对于集合中各种概念、运算的理解，直接从自然语言和符号语言上理解，往往难以搞清其本质；若借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、具体，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题。这就是8数形结合思想的应用，显然准确地将集合问题转化为图形关系是关键。解题时常借助韦恩图或用数

4、轴、简单函数的图像等形来集合问题，往往可以把问题中的条件直观化、形象化，从而使原题灵活、简捷、准确地获解。例1　若为全集，，且，则下列结论中正确的是。①；②；③；④（提示：由韦恩图可以很容易知道答案为③。）二、函数中的数形结合函数是贯穿高中数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。函数的图像是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。利用一次函数、二次函数、指数函

5、数、对数函数、三角函数等基本函数的图像来解决代数问题，有利于培养学生的转化联想能力、观察能力，如利用某些函数表达式所具有的特征，与几何中的距离、直线的斜率、线段的长度（两点间的距离）等联系在一起，构造几何模型解决问题，培养学生思维的深刻性并提高创造性。例2　设函数，若，则的取值范围是。分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力。8图1解：如图1，在同一坐标系中，作出函数的图像和直线，它们相交于和两点。由，得或。例3　方程解的个数为。分析：画出函数与的图像（如图2）。注意两个图

6、像的相对位置关系。图2（答案：3个。）显然，通过上两题看出，函数的解析式和图像的实质是相同的，在解题时经常要相互转化，尤其是解决较为繁琐的（如方程解的个数、分类讨论、求参数的范围等）问题时，更要充分发挥图像的直观作用，把代数问题转化为几何问题，实现数形转换。但转换时，要注意方式、方法，如方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y=f（x）和y=g（x）的图像的交点个数问题；不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图像位于函数y=g（x）的图像上方的那部分点的横坐标的集合。三、利用数形结合解决数列问题数

7、列可看成以为自变量的函数，等差数列可看成自然数的“一次函数”，前项和可看成的无常数项的“二次函数”，等比数列可看成自然数的“指数函数”，在解决数列问题时可借助相应的函数图像来解决。例4　若数列为等差数列，，求。如图3，8图3分析：不妨设，由于等差数列中，关于的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点共线，设，由已知，得三点共线。则，即，得，即。四、不等式与解析几何中的数形结合在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。例5　曲线与直线有两个交点时，实数的取值

8、范围是。分析：曲线的图形是以为圆心，以1为半径的圆在轴上方（包括轴）的部分。直线是过定点、斜率为的直线。在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图4，符合要求的直线介于直线之间（包括，不包括），其中与半圆相切，过原点。通过计算容易求得的斜率为1，的斜率为。所以。8图4例6　如果实数满足