控制系统的稳定性

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1、3.8控制系统的稳定性3.8 控制系统的稳定性稳定性是控制系统最重要的特性之一。它表示了控制系统承受各种扰动，保持其预定工作状态的能力。不稳定的系统是无用的系统，只有稳定的系统才有可能获得实际应用。我们前几节讨论的控制系统动态特性，稳态特性分析计算方法，都是以系统稳定为前提的。3.8.1 稳定性的定义图3.26（a）是一个单摆的例子。在静止状态下，小球处于A位置。若用外力使小球偏离A而到达A’，就产生了位置偏差。考察外力去除后小球的运动，我们会发现，小球从初始偏差位置A'，经过若干次摆动后，最终回到A点，恢复到

2、静止状态。图3.26（b）是处于山顶的一个足球。足球在静止状态下处于B位置。如果我们用外力使足球偏离B位置，根据常识我们都知道，足球不可能再自动回到B位置。对于单摆，我们说A位置是小球的稳定位置，而对于足球来说，B则是不稳定的位置。图3.26稳定位置和不稳定位置（a）稳定位置；(b)不稳定位置处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态，产生初始偏差。稳定性是指扰动消失后，控制系统由初始偏差回复到原平衡状态的性能。若能恢复到原平衡状态，我们说系统是稳定的。若偏离平衡状态的偏差越来越大，系统就是不稳定的

3、。在控制理论中，普遍采用了李雅普诺夫（Liapunov）提出的稳定性定义，内容如下：设描述系统的状态方程为             (3.131)式中x(t)为n维状态向量，f(x(t),t)是n维向量，它是各状态变量和时间t的函数。如果系统的某一状态,对所有时间t，都满足             (3.132)则称为系统的平衡状态。是n维向量。当扰动使系统的平衡状态受到破坏时，系统就会偏离平衡状态，在时，产生初始状态=x。在时，如果对于任一实数，都存在另一实数，使得下列不等式成立       (3.133) 

4、       (3.134)则称系统的平衡状态为稳定的。式中称为欧几里德范数，定义为：      (3.135)矢量的范数是n维空间长度概念的一般表示方法。这个定义说明，在系统状态偏离平衡状态，产生初始状态以后，即以后，系统的状态将会随时间变化。对于给定的无论多么小的的球域S()，总存在另一个的球域，只要初始状态不超出球域，则系统的状态的运动轨迹在后始终在球域S()内，系统称为稳定系统。当t无限增长，如果满足：        (3.136)即系统状态最终回到了原来的平衡状态，我们称这样的系统是渐近稳定的。对于任

5、意给定的正数，如果不存在另一个正数，即在球域内的初始状态，在后，的轨迹最终超越了球域S()，我们称这种系统是不稳定的。图3.27是二阶系统关于李雅普诺夫稳定性定义的几何说明。图3.27李雅普诺夫稳定性（a）稳定；(b)渐近稳定；(c)不稳定图3.27（a)说明只要初始状态在的圆内变化，则系统的状态就不超出S()的圆域。这种情况定义为系统是稳定的。是给定的状态的偏差范围。或者说明=Ax解的偏差范围，而则是根据所确定的容许的初始状态的偏差范围。如果可以选得任意大，我们称这样的系统为大范围稳定。图3.26（b)说明，

6、只要初始状态在的圆内变化，则随时间的增大，系统的状态最终会回到原点（即原来的平衡状态）。这种情况定义为系统是渐近稳定的。由图可见，渐近稳定情况下，，即稳定的条件更严格一些。或者说渐近稳定具有比稳定更强的特性，工程上要求控制系统稳定是指要求系统具有渐近稳定性。图3.26（c)是不稳定情况。x(t)的轨迹离开了圆S()。3.8.2 线性定常系统的稳定性稳定性表明了控制系统在所受扰动消失后，自由运动的性质。线性定常系统的稳定性是系统的固有特性，与输入变量无关。我们只要讨论齐次方程的解即可。在控制工程中，只有李雅普诺夫

7、稳定性定义下的渐近稳定的系统才能工作。所以，我们以下讨论的控制系统的稳定性都是指渐近稳定的系统。不是渐近稳定的系统都视为不稳定系统。线性定常系统的状态方程          (3.137)式中A为n*n方阵。设系统原来的平衡状态为，在扰动产生了初始状态以后，系统的状态x(t)将从开始按下列规律转移：          (3.138)如果对于任意初始状态，由它引起的系统的运动满足         (3.139)那么，线性定常系统就是稳定的（李雅普诺夫定义下的渐近稳定）。线性定常系统稳定的充分必要条件是其系数矩阵A

8、的特征值全都具有负实部。一个n*n矩阵的特征值就是方程         (3.140)的根。这个方程称为矩阵A的特征方程。如果描述控制系统特性的是输入——输出微分方程，则对应的齐次方程的解可表示为        (3.141)而系统的传递函数则具有以下形式    (3.142)若方程的解在时间趋于无穷大时也趋于零，即   (3.143)这说明系统在扰动消除后具有恢复到原平衡状态的能力。