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1、相似三角形存在性问题1.如图，二次函数图象的顶点坐标为C(4,-a/3)，且在x轴上截得的线段的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在y轴上，且使得AR4C的周长最小，求：①点P的嶝标；②△MC的周K和面积；(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以(?、4、权三点为顶点的三角形与A/WC相似?如果存在，求出点(？的坐标；如果不存在，请说明理由.解：(1)设二次函数的解析式为少=^70<—4)2—Vi(G类0)，且/Ka，0)，B(x2,0).y=a(x—4)2—V3=ax2—8ax+16
2、a—V3/.Xi+X2=8,xiX2=16—-a.AB2=(xi—X2)2=(X1+X2)2—4xiX2=82—4(16—)=36,.a=^.a9•••二次函数的解析式为-4)2-V3.(2)①如图1，作点4关于y轴的对称点/I',连结?TC交y轴于点P,连结R4，则点P为所求.令7=0，得^0c—4)2—7^=0，解得xi=l，x2=7.90)，F(7,0).：.OA=lf：.OAz=1.设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则4/)=3,AzD=5fDC=y/3.OP⑺AADC，.OPKO*DC_AD，
3、即OP1/.尸(0,5②...Z'C=初D2+DC2=^52+(V3)2=2a/7AC=^AD~+DC2=V32+(V3)2=2V3•••△P24C的周长=PX+PC+4C=i4’C+AC=2V7+2V3.S^pac=Saa7ac—Saa'?ip=丄/I,/I(DC—OP)=丄X2X(W)=—-•2255（3）存在.7tanZS?lC=—=—,...Z厦=30o.AD3同理，ZABC=30°f:.ZACB=120°,AC=BC.①若以为腰，为顶角，使仪4,贝lJ/lQ1=y^=6，ZBAQ1=120°.如
4、图2，过点仍作仏//丄x轴于H,贝ijQiH=AQi•sin60°=6X=3-^3,HA=AQi•cos60°=6X=3.HO=HA-OA=3~1=2.•••点Qi的坐标为（—2,3>/3）.把x=—2代入y=#U—4）2—a/3,得（—2—4）2—a/3=3^3..••点A在抛物线上.②若以似为腰，幺仰（?2为顶角，使△他込⑺ZVIC仏巾对称性可求得点（^的坐标为（10,3^3）.冋样，点込也在抛物线上.③若以为底，4（?，为腰，点（？在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去.综上所述，在;<轴上方的抛物线上
5、存在点仏（一2,3人）和&（10，3^3）,使得以Q、4、三点为顶点的三角形与△似C相似.1.如阁，抛物线y=£Dc2+fce+c（a式0）与;c轴交于?!（一3，0）、权两点，与y轴相交于点C（0，73）.当4和x=2时，二次函数7=似2+/^+
6、恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以N，为顶点的三角形与△MC相似?（2）由（1）y=——x2—x+73,令少=0，—X2—-^^-x+V3=0.33334分解得A=—3，x2=l.•••?!（一3，0），•••召（1，0）.又•••C（0,V3）,：.OA=3,OB=1，OC=4i，:.AB=4,BC=2.：.tanZACO=—=yf3AZACO=60°f:.ZCAO=30°.OC同理，可求得ZC^0=60o,ZBCO=30°,:.Z
7、ACB=90°.是直角三角形.又•••BM=BN=t，•••△衫MAZ是等边三角形.AZB/VM=60°,:.ZPNM=60°f:.ZPNC=60°.•••RtAP/VC^RtATlSC,.NCBC由题意知W=t，NC=8C-BN=2-t,/.d41人OM=BM-OB=--1=-.33如图1，过点尸作PW丄x轴于H，则*511160°=1x1=^^323412MH=PM•cos60°=—X—=—.32312...OH=OM+MH=-+-=1.33•••点P的坐标为（一1，—）.6分3（3）存在.由（2）知
8、△/IBC是直角三角形，若△初VQ与A/ISC相似，则APM?也是直角三角形.•••二次函数—fx2—^^-x+V3的阁象的对称轴为x=—1.33.•.点P在对称轴上.•.•P/V//X轴，.••尸/V丄对称轴.XVQN^PN,PN=BN,:.QN^BN.：./BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形.①如图2,过点/V作Q/V丄对称轴于（?，连结则ABM?是以点W为直角顶点的直角三角形,HQN>PNfZMNQ=30°.4•••肩
