相似存在性问题

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1、相似存在性问题解析相似存在性问题分析思路（1）定方向：直角三角形相似；等腰三角形相似；一般三角形相似（2）定分类：结合已知选用恰当的分类方法进行分类。（SSS、SAS、AA）（3）定解法：（1）无角相似；恰当的选择相似三角形对应边的比建立方程求解（2）有角解直；出现特殊角度的可以考虑解直角三角形。（4）定结果：将结果汇总。模型一：直角三角形相似问题例1：如图，矩形在平面直角坐标系中位置，，，直线与边相交于点．（1）求点的坐标；（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三

2、角形与相似，求符合条件的点的坐标．yOCDB6AxAMP1P2分析：（1）定方向：△OCD是两条直角边分别为3和4的直角三角形。则为直角三角形的相似问题。（2）定分类：如上图，△POM与Rt△OCD已经有一对内错角∠PMO=∠COD。所以△POM只要还有一个直角就可以利用AA判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：∠OPM=90°和∠POM=90°（3）定解法：求P点坐标，横坐标为3，只需要求纵坐标。由于是Rt△POM斜边的一部分。所以利用直角边和斜边对应成比例建立方程求解。（4）定结论：两种情况汇总。解：（1）点的坐标为．（2）抛物线的表达式为．

3、（3）情形一：当∠OPM=90°时，易证：．∵抛物线的对称轴，∴点的坐标为．yOCDB6AxAMP1P2情形二：当∠POM=90°时，由可得：则设则；；OD=5，OC=3，CD=4①∽Rt△DOC；；解之：∴点的坐标为，②∽Rt△ODC；；解之：综上所述：，练习1：已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；答案：（1）（2）①，，∴，∵点在第四象限，∴②△EDB∽△COA，，∴，∵点在第四象限，∴．

4、综上所述：；点睛：若去掉“点在第四象限”这个条件，则还有两种情况，它们都位于x轴的上方。可以利用对称性求解更为简洁。例2：如图，抛物线经过三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；分析：（1）定方向：△OAC是两条直角边分别为2和4的直角三角形。则为直角三角形的相似问题。（2）定分类：△OAC是一个直角三角形。只要夹直角的两条对应边成比例就可以利用SAS判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：PM长边、A

5、M短边和PM短边、AM长边。但是由于P点位置不确定，所以P点又有三种情况，如下图。所以共有6种情况。（3）定解法：求P点坐标，由于PM和AM易于表示且是Rt△PAM两条直角边。所以利用两条直角边对应成比例建立方程求解。（4）定结论：两种情况汇总。解：（1）（2）存在．设情形一：当时，；AO=4；OC=2。①若△PMA∽△COA；②若△PMA∽△OCA；则情形二：当时，；AO=4；OC=2。①若△PMA∽△COA；②若△PMA∽△OCA；则情形三：当时，；AO=4；OC=2。③若△PMA∽△COA；④若△PMA∽△OCA；则综上所述：、、练习2：如图

6、，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．过点A作AP∥CB交抛物线于点P（1）求A、B、C三点的坐标．CPByA（2）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．分析：GMCByPAGMCByPA答案：（1）ABC（2）存在，M点的坐标为，，模型二：等腰三角形相似问题例3：如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在点E，使△EAB与△ABC

7、相似？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．分析：（1）定方向：△ABC是等腰三角形。则为等腰三角形的相似问题。（2）定分类：△OAC是一个直角三角形。只要夹直角的两条对应边成比例就可以利用SAS判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：PM长边、AM短边和PM短边、AM长边。但是由于P点位置不确定，所以P点又有三种情况，如下图。所以共有6种情况。（3）定解法：求P点坐标，由于PM和AM易于表示且是Rt△PAM两条直角边。所以利用两条直角边对应成比例建立方程求解。（4）定结论：两种情况汇总。解：（1）y=(x-4)2－（2）由（1）得：A

8、(1，0)，B(7，0)，C(4，)易证：AC=BC,且∠ACB=120°。情形一：AB为腰：以A为圆心，AB为半径构造△