(含详答)2018上海春考数学试题（卷）

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1、2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式的解集为__________．2．计算：__________．3．设集合，，则__________．4．若复数（是虚数单位），则__________．5．已知是等差数列，若，则__________．6．已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹为__________．7．如图，在长方形中，，，，是的中点，则三棱锥的体积为__________．第7题图第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二

2、、三、四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则__________．10．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是__________．7/711．设，函数，，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________．12．如图，正方形的边长为20米，圆的半径为1米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中．已知点以1．5米/秒的速度从出发向移动，同时，点以1米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约

3、为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（）（A）（B）（C）（D）14．如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线条数为（）（A）1（B）2（C）3（D）415．记为数列的前项和．“是递增数列”是“为递增数列”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16．已知、为平面上的两个定点，且．该平面上的动线段的端点、，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（）（A）36（B）60（C）81（D）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题

4、每题14分，20题16分，21题18分）7/717．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知．（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知，双曲线．（1）若点在上，求的焦点坐标；（2）若，直线与相交于、两点，且线段中点的横坐标为1，求实数的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在

5、图2与图3中，点、、在抛物线上，是抛物线的对称轴，于，米，米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知平行于圆锥的母线，、是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1图2图37/720．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设，函数．（1）若，求的反函数；（2）求函数的最大值（用表示）；（3）设．若对任意，恒成立，求的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若是递增数列，数列满足：对任意，存在，使得，则称是的“分隔数列”．（1）设，，证明：数列是的“分隔数

6、列”；（2）设，是的前项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；（3）设，是的前项和，若数列是的分隔数列，求实数、的取值范围．7/7参考答案一、填空题1．2．33．4．25．156．7．58．1809．410．11．提示：12．提示：以为原点建立坐标系，设时刻为，则则，化简得点到直线PQ的距离，化简得即，则二、选择题13．A14．C15．D16．B提示：建系，则的轨迹为线段，扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知扫过的面积为48，因此和为60三、解答题17．（1）；（2）7/718．（1）；（2）．19．（1）；（2）．20．（1）；（2）（时取最值）；（3）提示

7、：因为-a<0，所以当x=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，此时21．（1）证明：存在,此时证毕（2）不是．反例：时，无解；（3）．提示：因为为递增数列，因此或者①当时，，因此因此不存在，不合题意。②当时，两边同时取对数得：7/7记则下面分析函数的取值范围：显然时，为减函数，因此，即(Ⅰ)当时，，因此总有此时因此总存在符合条件，使得成立(Ⅱ)当时，，根据零点存在定理，并结合的单减性可知：存在唯一正整数使得此时即显然不存在满足条件的正整数综上：7/7