应用概率统计例题

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1、3)复合系统的可靠性最优设计问题设计一种电子设备，该设备由三个子系统组成，每一个子系统由相同的且相互独立工作的电子元件DAj=l，2,3并联而成，其单价分别为CA,(=1，2,3，C,=30,C=15,C3=20,三种元件正常工作的概率(称为元件使用的可靠度)分别为AJ=l,2,3，A=0.95,p=0.90,p3=0.85,三个子系统间为串联结构，要求总费用不超过105个单位，如何设计可使系统的可靠性最大。解：(1)、设X，表示第k个子系统并联元件=的个数，又设表示第k个子系统到第3个子系统的总费用，由

2、题意有其中［］表示方括号内的取整数部份，且有=105,s2=st-clXl,sk=sk_r-ck_'xk_'，A(st)为最优值函数，表示第k个子系统可用总费用为S,时，从k到第3个子系统的可靠度最大。由子系统并联元件的概率为：p(AU次U…UA„)=i-P(X)n=i-(i-P(4))”，则有：AOUSJH1-。.85广]俱)=1JXJ1—(1—0.90户]人(么)l

3、^3m)=f^5)=^max[

4、1-(1-0.95广]/2(S2)0.95/2(75)，0.9975/2(45)，0.999875/2(15)X

5、=lA

6、=2a.=3f,(75)=max(1-0.1r2)/3(75-15%JI

7、(30)=0.850.85,0.9775々=1x3=2，⑽5)=0)0.85,0.9775,0.996625=1x、=2x;=30.9775=0.996625/2(75)=max(0.9x0.996625,0.99x0.9775,0.999x0.85)max(0.8969625,0.967725,0.84915)=0.967725/2(45)=0.9x0.85=0.765f{(105)=max(l-0.05"1)./;(105-30x,)1^x3<3=max0.95/2(75)，0.9975/2(45)，

8、0.999875/2(15)4=1jq=2x,=3max[0.95x0.967725,0.9975x0.765,0]0.91933875最优设计方案^,=1^2=2,^=2,系统可靠度为0.91933875,验证：第1个子系统的可靠度为0.95第2个子系统的可靠度0.9+0.9-0.92=0.99第3个子系统的可靠度0.85+0.85-0.852=0.9775

9、统可靠度为0.95x0.99x0.9775=0.91933875例6、设总体X的密度函数为x=~eo,e2^,x>0x<00〉0为未知参数，4，

10、，...人为简单随机样本，求(1)0的矩估计量和最大似然估计量，(2)讨论估计量的无偏性.(1)+oo+00X二+OO，£(X)=Jxf{x)dx-Jx^-e2ddx=-^xde00023+oo+ooJT+=-(说2C-Jelddx)-e26dx1r—71=-4^e一oo,——=e2(^rdx=—4^2jrd42tt32令£(x)=lV^=x，贝ij:iTrd=4X2,3=-X2为＜9的矩估计量71又X,，&，•••X。的联合概率密度为^>0/(xpx2，...x»=-^e23/=L2/-ht7

11、U-X20w••弋enxrlnf=YJlnxi-ne---^xi/=I丄廿i=e/lnfn1+2令An1doe232^12n^1贝⑽最大似然估计量为+CO十°°X"£(X2)=Jx2[^eTedx=-x2de020(2)由0X—+<»A)十ooA，-(x2e~^~JeTedx2)=2^JeTed-23e20•+0026=-2^(0-!)=2^D(X)=£(X2)-E2(X)=2^--^=—22—4—7tD^~e—2—’—4—TC7CE(X)=D(X)+E'-(X)=(-—+-)32n2对沒的矩估计

12、量71*e*e，不是无偏估计量。K2nA1H2nd2n是无偏估计量。对沒的最大似然估计量沒，2"/=1八1刃1打m=_g£(x(2)=_g2,区间估计例r某厂生产一批清漆，为考虑该批清漆的平均干燥时间及离散程度，任取n=9个样本。测得干燥时间分别为6.0,5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0小时;设总体X的干燥时间服从一般正态分布，即X〜2V（//，＜72）。（1）若＜r2=0.36，求总体平均干燥时