二次型及其标准型

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1、Ch5二次型掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念及惯性定理熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，并会用配方法化二次型为标准形了解二次型的分类，熟练掌握二次型及其对应矩阵的正定性与判别法问题的提出：在平面解析几何中讨论的有心二次曲线，若中心与坐标原点重合，则一般方程是上式的左端就是x，y的一个二次齐次多项式．为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换，把方程化为只含平方项没有乘积项的标准方程，在空间解析几何中二次曲面的研究也有类似的问题．把二次

2、齐次多项式化为只含平方项的标准方程不仅在几何问题中出现，而且在数学的其他分支以及物理、力学、工程技术、经济管理、网络计算中有着广泛的应用．二次型的概念实例：二次方程的图像表示怎样的曲线?正交变换法化上面方程为熟知形式平面上任一点A的新旧坐标关系为若将坐标系逆时针旋转450，得新坐标系（1）将上面关系式代入方程（1），得到在新坐标系下的方程形式可见二次方程（1）所表示的曲线是椭圆,它的左边是一个二次齐次多项式，通过变量的坐标变换化简为只含有平方项的二次齐次多项式，我们叫它标准形.另一方面，（1）的

3、左边用矩阵表示为（2）坐标变换关系用矩阵表示为或（3）其中是一正交矩阵.因此(3)为正交变换.将(3)代入（2）也有1.二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半；2.通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标准形.启示二次型（quadraticform）的定义定义2：若线性变换当中有复数时，为复二次型．当全为实数时，为实二次型．的矩阵可逆，则称线性变换为可逆线性变换；正交，则称线性变换为正交变换。定义3：只含平方项的二

4、次型，即形如称为二次型的标准形（或法式）。二次型的矩阵表示法：二次型的矩阵表示式任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．二次型的矩阵（显然这是实对称阵）这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．设二次型定义：则称对称矩阵A的秩为二次型f的秩.对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的二次型．例如，二次型用矩阵记号写出来就是二次型的矩阵为例求实对称矩阵所对应的二次型．二次型经可逆变换后的矩阵：由上讨论可得：例已知下面二次型的秩为2，

5、求参数c．二次型的矩阵为r(A)=2<0c=3.定理1正交变换化二次型为标准形：问题1：标准形的矩阵=？将二次型化为标准形实际上是什么问题？问题3：二次型能否化为标准形？能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。问题2：定理2证明因为A是实对称阵，故总有正交矩阵Q，使Q-1AQ=将x=Qy代入二次型，得f＝(Qy)TA(Qy)＝yTQTAQy=yT(QTAQ)y=yTy=其中是f的矩阵A的特征值.将二次型化为标准形的一般步骤：(i)写出二次型的矩阵A；例求一个正交变换x=Qy，化二次型为标准形解二

6、次型的矩阵，特征多项式,A的特征值当时，解方程组，由得基础解系单位化即得.当时，解方程组，由得基础解系正交化单位化，正交变换，标准形.已知二次型经过正交变换化成了标准形求的值和正交矩阵Q．例的矩阵A及标准形的矩阵分别为由题设条件，有由于A相似于对角矩阵，故A的特征值为将代入特征方程,得由于正交变换有保持几何形状不变等许多优良性质，所以用正交变换化二次型为标准形是一种常用的方法．为椭圆柱面。用配方法化二次型为标准形的方法用配方法化下列二次型为标准形，并求所用的可逆线性变换．解：因为中只有混合项，没

7、有平方项，故要先作一个辅助变换使其出现平方项，然后按例1的方式进行配方．则原二次型化为则原二次型化为标准形,所用的可逆线性变换为注：配方法化二次型为标准形不同于正交变换化二次型为标准形，几何上配方法化二次型为标准形不一定保持形状不变，代数上配方法化二次型为标准形，其标准形的系数不一定是二次型矩阵的特征值.