5-5 二次型及其标准型

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时间:2019-10-07

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1、一、二次型及其标准形的概念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式).例如都为二次型;为二次型的标准形.1.用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2.用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系.解例1设四、化二次型为标准形对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换,将二次型化为标准形.证明即为对称矩阵.说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值例2

2、从而得特征值2.求特征向量3.将特征向量正交化得正交向量组4.将正交向量组单位化,得正交矩阵于是所求正交变换为解例3五、小结1.实二次型的化简问题,在理论和实际中经常遇到,通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题,请同学们注意这种研究问题的思想方法.2.实二次型的化简,并不局限于使用正交矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运算更快的可逆变换.下一节,我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法.化为标准型,并指出表示何种二次曲面.求一正交变换,将二次型思考题思考题解答

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