双曲线的简单几何性质(教案)

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1、教案普通高中课程标准选修2-12.3.2双曲线的简单几何性质(第一课时)教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上,进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。(可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。)通过本节课的学习,使学生深刻理解双曲线的几何性质,体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。二、教学目标(一)知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。2、理解双曲线的渐近线。(二)过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法

2、,用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质,从而培养学生的观察能力、联想类比能力。(三)情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程,深刻认识“数”与“形”的关系,培养学生勇于攀登科学高峰的精神。三、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。四、教学过程(一)课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程,并由标准方程推导出椭圆的几何性质,椭圆的几何性质有哪些?(教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质,双曲线及其标准方程。)今天我们以标准方程为工具,研究双曲线的几何性质。【板书】:双曲线的性质2、

3、双曲线有哪些性质呢?(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。)3、双曲线的这些性质具体是什么?如何推导?请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法,推导出双曲线的几何性质。(讨论)8(二)双曲线的性质1、范围:把双曲线方程变形为。因为,因此,即,所以。又因为,故。【板书】:1、范围:,。2、对称性:下面我们来讨论双曲线的的对称性,哪位同学能根据双曲线的标准方程,判断它的对称性?在标准方程中,把换成,或把换成,或把,同时换成,时,方程都不变,所以图形关于轴、轴和原点都是对称的。【板书】:2、对称性:双曲线的对称轴是轴、轴,原

4、点是它的对称中心。3、顶点:提问:(1)双曲线有几个顶点?顶点的坐标是什么?在标准方程中,令得;令,则无解。这说明双曲线有两个顶点,。(2)如图,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线8的实轴,其长度为。尽管此双曲线与轴无公共点,但轴上的两个特殊的点。我们称线段为双曲线的虚轴,其长度为。【板书】:3、顶点:,称为实轴,为虚轴,其中。特别地,当时,双曲线的实轴长与虚轴长相等,称其为等轴双曲线。4、离心率【板书】:4、定义双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率。提问:(1)双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同?(

5、2)双曲线的形状与离心率有什么关系?由等式,可知:【板书】:双曲线的离心率且越大双曲线的开口就越开阔。5、渐近线:提问:(1)椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面,因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据,那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢?谁能比较准确地画出双曲线?在第一象限内双曲线可以化为,是增函数。因为,所以,即,这个不等式意味着什么?(它表示直线下方半个平面区域。)(用刚才作矩形的方法画出两条直线,然后指出区域。)由于双曲线和直线都关于坐标

6、轴对称,所以双曲线(两支)在直线之间,这样,我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。提问:(2)直线与双曲线有什么联系呢?(用几何画板课件演示):8随着无限增大时,点到直线的距离就无限趋于零。【板书】:5、渐近线:直线叫做双曲线的渐近线;直线叫做双曲线的渐近线。练习:求下列双曲线的渐近线方程(写成直线的一般式)。(1)的渐近线方程是:(2)的渐近线方程是:(3)的渐近线方程是:(4)的渐近线方程是:可以发现,双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。(启发学生讨论,归纳)。把双曲线方程中的常数项改为零,会怎样呢?,即

7、,这就表示两条渐近线。【板书】:结论:把双曲线标准方程中等号右边的1改成0,然后变形,即可得其渐近线方程。(三)小结8标准方程图形性质焦点范围,对称性关于轴,轴,原点都对称顶点离心率渐近线(四)典型例题与变式训练例1、求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。解:把方程化为标准方程由此可知,半实轴长,半虚轴长;焦点坐标是;离心率;渐近线方程为。归纳总结:首先把方程化为标准方程,看准焦点在哪条轴上,得到a,b,c的值,再由双曲线的几何性质求解。8【变式训练】:求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、

8、离心率、渐近线方程。例1、求适合下列条件的双曲线标准方程(1)顶点在轴上,虚轴长为12,离心率为;(2)顶点间距离为6,渐近线方程为;解:(1)设双曲线的标准方程为。由题意知,且。∴∴所求双曲线方程为。(2)当焦点在轴上时,由且,∴。∴所求双曲线方程为当焦点在轴上时,由且,∴。∴所求双曲线方程为归纳总结:首先观察条件能否确定焦点位置,再采用待定系数法设出所求

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