双曲线的简单几何性质(教案)

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1、教案普通高中课程标准选修2-12.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。二、教学目标（一）知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。2、理解双曲线的渐近线。（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察

2、能力、联想类比能力。（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。三、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。四、教学过程(一)课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。）今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。【板书】：双曲线的性质2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双

3、曲线的几何性质。（讨论）8（二）双曲线的性质1、范围：把双曲线方程变形为。因为，因此，即，所以。又因为，故。【板书】：1、范围：，。2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线的标准方程，判断它的对称性？在标准方程中，把换成，或把换成，或把，同时换成，时，方程都不变，所以图形关于轴、轴和原点都是对称的。【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是轴、轴，原点是它的对称中心。3、顶点：提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？在标准方程中，令得；令，则无解。这说明双曲线有两个顶点，。（2）如图，对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线8的实轴，其长度为。尽管此双曲线与轴无公

4、共点，但轴上的两个特殊的点。我们称线段为双曲线的虚轴，其长度为。【板书】：3、顶点：，称为实轴，为虚轴，其中。特别地，当时，双曲线的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线。4、离心率【板书】：4、定义双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。提问：（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？（2）双曲线的形状与离心率有什么关系？由等式，可知：【板书】：双曲线的离心率且越大双曲线的开口就越开阔。5、渐近线：提问：（1）椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么请大家想一想双曲线的走向

5、是什么样的呢？谁能比较准确地画出双曲线？在第一象限内双曲线可以化为，是增函数。因为，所以，即，这个不等式意味着什么？（它表示直线下方半个平面区域。）（用刚才作矩形的方法画出两条直线，然后指出区域。）由于双曲线和直线都关于坐标轴对称，所以双曲线（两支）在直线之间，这样，我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。提问：（2）直线与双曲线有什么联系呢？（用几何画板课件演示）：8随着无限增大时，点到直线的距离就无限趋于零。【板书】：5、渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；直线叫做双曲线的渐近线。练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。（1）的渐近线方程是：（2）的渐近线方程是：（3）的渐近线

6、方程是：（4）的渐近线方程是：可以发现，双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。（启发学生讨论，归纳）。把双曲线方程中的常数项改为零，会怎样呢？，即，这就表示两条渐近线。【板书】：结论：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形，即可得其渐近线方程。（三）小结8标准方程图形性质焦点范围，对称性关于轴，轴，原点都对称顶点离心率渐近线（四）典型例题与变式训练例1、求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。解：把方程化为标准方程由此可知，半实轴长，半虚轴长；焦点坐标是；离心率；渐近线方程为。归纳总结：首先把方程化为标准方程，看准焦点在哪条轴上，得到a,b,c的值，再由双

7、曲线的几何性质求解。8【变式训练】：求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例1、求适合下列条件的双曲线标准方程（1）顶点在轴上，虚轴长为12，离心率为；（2）顶点间距离为6，渐近线方程为；解：（1）设双曲线的标准方程为。由题意知，且。∴∴所求双曲线方程为。（2）当焦点在轴上时，由且，∴。∴所求双曲线方程为当焦点在轴上时，由且，∴。∴所求双曲线方程为归纳总结：首先观察条件能否确定焦点位置，再采用待定系数法设出所求