高考数学中数列与不等式分析

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1、高考数学中数列与不等式分析　　摘要：高考数学中的数列和不等式两部分的知识点，在高考数学试题中都会考查，在广东高考数学中也是如此.想要在高考中取得优异的数学成绩，需要对不等式和数列这块的知识点掌握牢固，在后面的大题中往往会结合数列与不等式的知识点综合性出考题，这对考生来说是有难度的.所以学会如何突破解决这类难题很重要.本文主要讨论常见题型和解题方法.　　关键词：数列与不等式例题解析　　一、高考中关于数列与不等式的题型分析　　1.以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.　　2.以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及导数

2、、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.　　3.将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.　　二、典型例题分析　　题型一：有数列参与的不等式证明　　例题1.设数列{a}的前n项和为S，已知a=1，=a-n-n-，n∈6N*，　　（1）求a的值；　　（2）求数列{a}的通项公式；　　（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.　　解析：这道题属于数列基本运算，要求考生掌握基本知识，并且将数列和不等式

3、的基本知识点结合起来，巧妙地综合性解题.　　（1）首先令n=1，代入题目所给的式子=a-n-n-，即可以解得a=4.　　（2）本题有两个解题方案.　　解法一：令n=2，代入题目所给的式子=a-n-n-，a=4，解得a=9.　　猜想a=n，下面用数学归纳法证明.　　1.当n=1时，猜想显然成立；　　2.假设当n≤k时，a=k，S=，　　则当n=k+1时，a=+k+k+=+k+k+=（k+1）　　那么当n=k+1时，猜想也成立.　　联合1和2得，对任意正整数n，a=n.　　解法二：当n≥2时，2S=na-n-n-n，　　2S=（n-1）a-（n-1）-（n-1）-（n-1）

4、.　　两式相减得2a=na-（n-1）a-（3n-3n+1）-（2n-1）-　　整理即可得（n+1）a=na-n（n+1）　　又因为-=1，6　　所以{}是首项为=1，公差为1的等差数列，　　所以=1=（n-1）×1=n，即a=n.　　（3）=<=-，n≥2　　当n=1时，=1<；　　当n=2时，+=1+<；　　当n≥3时，++…+<1++-+-+…+-=-<，　　综上所述，对一切正整数n，有++…+<.　　小结：第（1）小问取n=1就可以得到答案；第（2）小问给了两种解法，比较这两种解法，用数学归纳法解答思维量、运算量都小得多，所以推荐数学归纳法；第（3）小问通过适当

5、放缩和裂项相消求和是关键.　　题型二：求数列的最大值　　例题2.设等差数列{a}的前项和为S，若S≥10，S≤15，则a的最大值为？摇？摇.　　【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，由此可确定a的最大值.　　【解】∵等差数列{a}的前项和为S，且S≥10，S≤15，　　∴S=4a+6d≥10，S=5a+10d≤15即，2a-3d≥5，a-d≤3，　　∴≤a≤3+d，则5+3d≤6+2d，即d≤1.　　∴a≤3+d≤3+1=4，故a的最大值为4.　　小结：本题主要是根据条件的不等式关系求最值的，其

6、中确定数列的公差d是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.6　　题型三：有数列参与的比较大小　　例题3.已知数列{a}是等差数列，其前n项和为S，a=7，S=24.　　（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；　　（Ⅱ）设p、q都是正整数，且p≠q，证明：S<（S+S）.　　【分析】根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项和公式建立方程组即可解决第（Ⅰ）小题；第（Ⅱ）小题利用差值比较法就可顺利解决.　　【解】（Ⅰ）设等差数列{a}的公差是d，依题意得，a+2d=7，4a+10d=24解得a=3，d=2，　　∴数列{a}的通项公式为a=a+（n-1）d=3+（n-1）×2

7、=2n+1.　　（Ⅱ）证明：∵a=2n+1，∴S=n+2n.　　2S-（S+S）=2[（p+q）+2（p+q）]-（4p+4p）-（4q+4q）=-2（p-q），　　∵p≠q，∴2S-（S+S）<0，∴S<（S+S）.　　小结：利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.　　题型四：求有数列参与的不等式条件下参数的取值范围　　例题4.已知a>0，且a≠1，数列{a}的前n项和为S，，它满足条件=1-，数列