极化恒等式教师版.pdf

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1、巧用极化恒等式秒杀高考向量题江苏张锡文一、极化恒等式的概念：122设ab,是两个平面向量，则有恒等式ab(ab)(ab)（1）422有时也将（1）写成4ab(ab)(ab)，极化恒等式的几何意义是：1向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，4122即：abADBC,4在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，221即abAMBC，它揭示了三角形4的中线与边长的关系.极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量

2、”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.二、极化恒等式的应用：1、（2012浙江15）在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则ABAC=.析：法1：基底法A取BC的中点M，ABAMMB，ACAMMCAMMB，22BMCABAC(AMMB)(AMMB)AMMB92516法2：坐标法以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，设点Mxy(,)，则点B(5,0),点C(5,0)，yA(x,y)22由AM3，所以xy9，ABAC(5x,y)(5x,y)x22

3、y2516xOM(-5,0)BC(5,0)1法3：极化恒等式(极化恒等式解决问题的典型范例)122ABAC(ABAC)(ABAC)4221AMCB9251642、（2011上海11）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3,BD1，则ABAD.析：法1：基底法A1ABADABABBD()ABAB(BC)31ABAB()ACAB3BCD212ABABAC33152法2：坐标法以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，3333y则A(0,),B(,0),C(,0)，22

4、2A333133所以AB(,),AD(,)，x2222OBC15所以ABAD2法3：极化恒等式A取BD的中点O，连接AO,则在ABC中，由余弦定理：22231AOABAO2ABAOcosB=4BDCO22115所以ABADAODB4223、（2016江苏13）如图，在△ABC中，D是BC的中点，EF,是AD上两个三等分点，BACA4，BFCF1，则BECE的值是．A析：E法1：基底法1F令DFa，DBb，则DCb，DE2a，DA3a，则BA3ab，CA3ab，BE2ab，CE2ab，BDCBFab，

5、CFab，222222则BACA9ab，BFCFab，BECE4ab，222222513由BACA4，BFCF1可得94ab，ab1，因此ab,，882245137因此BECE4ab．888法2：基底法2设ABaAC,b，则BACAABACab4………①22BFCF(AFAB)(AFAC)(ADAB)(ADAC)33111212(ab)a(ab)b(ba)(ab)3333331(b2)(aa2)b19即：(b2)(aa2)b9………

6、②2229由①②可求ab，2所以BECE(AEAB)(AEAC)11(ADAB)(ADAC)3311(ab)a(ab)bA6617(b5)(aa5)b368E法3：极化恒等式F22BACAABACADBD422122BFCFFBFCFDBDADBD1BDC93224513解得：AD,BD,88224722所以BECEEBECEDBDADBD984、若AB是O的直径，M是O的弦CD上的一个动点，AB8,CD6,则MAMB范围．析：法1：基底法CMDMAMB(MOOA)(

7、MOOB)G(MOOA)(MOOA)AB22MOOAO2MO16过点O作OGCD,垂足为G，连接OGOC,,221则OGOCCD1697,4因为OCOMOG，即74OM，所以MAMB9,0．法2：坐标法22如图，设Mxy(,)，点A(4,0),点B(4,0)，MAMBxy1622因为74OM，所以xy7,16，yD所以MAMB9,0MCx法3：极化恒等式:AOB2122MAMBMOBAMO16,4因为OCOMOG，即74OM，所以MAMB9,0