三角形内角和定理的证明

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时间:2018-11-09

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1、三角形内角和定理的证明!§6.5三角形内角和定理的证明教学目标(一)知识认知要求三角形的内角和定理的证明.(二)能力训练要求掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证题,同时培养学生观察、猜想和论证能力.(三)情感与价值观要求通过新颖、有趣的实际问题,来激发学生的求知欲.教学重点三角形内角和定理的证明.教学难点三角形内角和定理的证明方法.教学过程一、巧设现实情境,引入新课大家来看一机器零件(投影)为什么铣刀偏转35°角,就能得到55°的燕尾槽底角呢?二、讲授新课为了回答这个问题,先观察如下的实验(电脑实验)用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点,A为动点,放松橡皮筋后

2、,点A自动收缩于BC上,请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形:△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢?当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.在三角形中,最大的内角有没有等于或大于180°的?三角形的最大内角不会大于或等于180°.看实验:当点A远离BC时,∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行,这时,∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.猜一猜:三角形的内角和可能是多少?这一猜测是否准确呢?我们曾做过如下实验1:先将纸片三角形一角折

3、向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行(图6-38(1))然后把另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图(2)、(3)),最后得图(4)所示的结果.(1)    (2)  (3)   (4)实验2:将纸片三角形三顶角剪下,随意将它们拼凑在一起.由实验可知:我们猜对了!三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?请同学们再来看实验.这里有两个全等的三角形,我把它们重叠固定在黑板上,然后把三角形ABC的上层∠B剥下来,沿BC的方向平移到∠ECD处固定,再剥下上层的∠A,把它倒置于∠C与∠ECD

4、之间的空隙∠ACE的上方.这时,∠A与∠ACE能重合吗?这样我们就可以证明了:三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明:三角形的内角和等于180°这个真命题.已知,如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB.则∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等)∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等)∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)即:∠A+∠B+∠C=180°.通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理.即:三角形的内角和定理.在证明三角

5、形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC.(如图)他的想法可行吗?你有没有其他的证法.小明的想法可行.因为:∵PQ∥BC(已作)∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等)∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等)∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换)也可以这样作辅助线.即:作CA的延长线AD,过点A作∠DAE=∠C也可以在三角形的一边上任取一点,然后过这一点分别作另外两边的平行线,这样也可证出定理.即:如图,在BC上任取一点D,过点D分别作DE∥AB交AC于E,DF∥AC交AB于F.∴四边形AFD

6、E是平行四边形(平行四边形的定义)∠BDF=∠C(两直线平行,同位角相等)∠EDC=∠B(两直线平行,同位角相等)∴∠EDF=∠A(平行四边形的对角相等)∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°(1平角=180°)∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换)三、课堂练习四.课时小结这堂课,我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是:运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁,今后我们还要学习它.五、作业习题6.6 六、活动与探究1.证明三角形内角和定理时,是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P

7、?(如图(1)),如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢?(如图(2))“凑”到三角形外一点呢?(如图(3)),你还能想出其他证法吗? (1)     (2)    (3)让学生在证明这个题的过程中,进一步了解三角形内角和定理的证明思路,并且了解一题的多种证法,从而拓宽学生的思路.[结果]证明三角形内角和定理时,既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P,也可以把三个角“凑”到三角形内一点;还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.五、作业教学反思:要培养学生形成流畅的思维方式、变通的思维模式和独创的思维特性

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