试析行列式的计算的六种方法

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1、试析行列式的计算的六种方法　　内容摘要：本文主要归纳了计算行列式的六种方法：递归法、利用范德蒙行列式进行计算、三对角行列式的计算、利用“加边法”（或称“升阶法”）计算行列式、利用拉普拉斯定理进行计算、利用数学归纳法进行计算，最后通过一题多解对比了计算行列式的几种方法。　　关健词：行列式；范德蒙行列式；数学归纳法；一题多解　　【中图分类号】G633.62　　一、引言　　行列式的计算一直是线性代数研究的重要内容，低阶或特殊行列式的计算相对简单，如上下三角行列式（三角形行列式的值等于主对角线上所有元素的乘积）；理论上任何一个行列式都可以按定义计算，但当行列式的阶数较大时，它的计算量非常大，计算十分

2、复杂，技巧性很强因此，研究行列式的计算方法是十分有必要的。　　二、计算行列式的方法　　（一）递归法　　所谓递归法，是指把有待解决的问题归结到一类与原问题性质相同的、规模更小的问题中去，最终求得原问题的解答。　　行列式是典型的递归结构，它可以作如下递归定义：设阶行列式　　Ｄ＝，　　⑴当时，；10　　⑵当时，　　其中，是元素的代数余子式，。　　因此，高阶行列式的计算总可以归结为求其低阶子式的计算，也就是说用递归法计算行列式具有一般的方法论意义。用递归法解题的一般步骤是：　　⑴寻找递归关系式；　　⑵根据递归关系式，求所需的递归边界条件；　　⑶求解递推关系，或论证递推关系的性质。　　下面通过实例进行

3、说明。　　例１计算阶行列式　　.　　解：当时，行列式的值等于；下面计算时的情形：　　构造数列　　,　　则　　　　　　，，　　即　　，，　　这说明数列是一个公差为的等到差数列，从而　　，，10　　故　　，.　　（二）利用范德蒙行列式进行计算　　我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法。　　形如行列式D=称为阶的范德蒙行列式。　　我们来证明，对任意的(),阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差（1≤j

4、行减去它上一行的倍。有　　D=　　=　　=,　　后面这个行列式是一个阶范德蒙行列式，根据归纳总结假设，它等于所有可能的差（）的乘积；而包含的差全在前面出现了。因此，结论对于阶范德蒙行列式也成立。根据数学归纳法完成了证明：　　=,　　由这个结果立即得出：范德蒙行列式为零的充要条件是这个数中至少有两个相等。　　例2计算行列式，其中10　　=　　分析：该行列式与范德蒙行列式很相似，可以先利用行列式的性质把它变为范德蒙行列式再进行计算。通过相邻两行的变换，先把最后一行交换到第一行（交换次），如此继续下去，经过次交换后，原行列式变为范德蒙行列式。　　解：由范德蒙行列式的性质得　　=　　=　　=.　　（

5、三）三对角行列式的计算　　形如的阶行列式称为三对角行列式。　　我们先来证明满足　　其中　　。　　证明：令为一元二次方程的两个根并将按第一列展开，可得,　　即　　　　,　　同理可得　　,　　特别当时，，由上面两式可以解得　　,10　　当时，，于是　　　　=　　=.　　证毕.　　例2计算行列式，其中　　=.　　　　解：运用公式有　　===81-80=10,　　所以　　==　　=.　　（四）利用“加边法”（或称“升阶法”）计算行列式　　所谓“加边法”，就是将原行列式增加一行一列。它的实质是升阶，目的是便于利用行列式的性质和定理，对行列式进行化简运算。在实际问题中，恰当地应用“加边法”对行列式的计算

6、将会起到事半功倍的效果，下面通过具体实例来加以说明。　　例4计算阶行列式　　.　　解分析：此行列式与范德蒙行列式极为相似，因而我们设法增加一行一列，即进行“加边”。然后按计算范德蒙行列式的方法实施计算。10　　,　　从最后一行开始，每行减去它的相邻的前一行乘得　　,　　将按第一列展开，然后从阶行列式的每一行提取公因子得　　,　　按以上方法继续进行下去得　　　　=.　　（五）、利用拉普拉斯定理进行计算　　拉普拉斯定理是行列式按行或列展开定理的推广。在应用拉普拉斯定理时，为了计算上的方便，一般先利用行列式的性质对原行列式进行变形，再按含多个零的行或列展开。　　例5计算行列式，其中　　.　　分析：

7、如果从第3行开始每一行都减去第2行，再从第3列开始每一列都加到第三世界国家列，可使行列式中更多的元素为零。　　解：先按上述分析对行列式进行变换，　　=　　=,　　再由拉普拉斯定理可得　　　　=.10　　（六）、利用数学归纳法进行计算　　数学归纳法多用于证明题。用数学归纳法计算阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算，从中发现规律并得出一般性结论，然后再用归纳法征明其正确性。　　例6计算行列式，其中　　.