同济大学(高等数学)-第二章-导数与微分

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1、第二篇一元函数微积分第二章导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．第1节导数的概念1.1导数概念的引入1.1.1质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程与运动时间的函数关系式记为，求在时刻时质点的瞬时速度为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻改

2、变到时刻，在时间增量内，质点经过的路程为，在时间内的平均速度为，当时间增量越小时，平均速度越接近于时刻的瞬时速度，于是当时，的极限就是质点在时刻时的瞬时速度，即．1.1.2平面曲线的切线斜率问题已知曲线，求曲线上点处的切线斜率．欲求曲线上点的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．图2-150如图2-1所示，取曲线上另外一点，则割线的斜率为．当点沿曲线趋于时，即当时，的极限位置就是曲线在点的切线，此时割线的倾斜角趋于切线的倾斜角，故切线的斜率为．前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义

3、不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质——导数．1.2导数的概念1.2.1函数在一点处的导数定义1设函数在点的某领域内有定义，自变量在处取得增量，且时，函数取得相应的增量，如果极限存在，那么称函数在点可导，并称此极限值为函数在点的

4、导数，记作，即．注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式；．（2）若极限不存在，则称函数在点不可导．特别地，若，也可称函数在点的导数为无穷大，此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线．50例1设，求．解根据导数的等价定义，可得．例2设，求下列极限：（1）；（2）．解（1）．（2）．1.2.2单侧导数导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义．定义2（1）设函数在点的某左邻域内有定义，当自变量在点左侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的左导数，记为，即．（2）设函数在点的某右邻域

5、内有定义，当自变量在点右侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的右导数，记为，即．由极限存在的充要条件可得函数在点可导的充要条件如下：定理1函数在点可导和存在且相等．50例3研究函数在点的可导性．解因为，所以，，从而，因此在点不可导．1.2.3导函数定义3（1）若函数在区间内每一点均可导，则称在区间内可导；（2）若函数在区间内可导，在区间左端点的右导数和区间右端点的左导数均存在，则称在闭区间上可导．定义4若函数在区间（可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，且对于任意的，都对应着一个导数值，其是自变量的新函数，则称为

6、在区间上的导函数，记作，即或．注：（1）在导函数的定义式中，虽然可以取区间上的任意值，但在求极限的过程中，是常数，和是变量．（2）导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函数．显然函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即．下面利用导数的定义求一些简单函数的导数．例4求常值函数（为常数）的导数．解．即得常值函数的导数公式：．例5求正弦函数的导数．50解．即得正弦函数的导数公式：．类似可得余弦函数的导数公式：．例6求指数函数的导数．解．由于当时，，所以．即得指数函数的导数公式：．特别地，．例7求对数函数的

7、导数．解．即得对数函数的导数公式：．特别地，．例8求幂函数的导数．50解，因为当时，，从而，故．即得幂函数的导数公式：．1.3导数的几何意义函数在点可导时，导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率（图2-1）．由此可得，曲线在处的切线方程为．若，可得切线的倾斜角为或，此时切线方程为．当时，曲线在处的法线方程为．若，则法线方程为．例9求函数在点处的切线的斜率，并写出在该点的切线方程和法线方程．解根据导数的几何意义，函数在点处的切线的斜率为．从而所求的切线方程为，即．所求法线的斜率为50，从而所求的法线的方程为，即．1.4函数可导性与连续

8、性的关系定理2如果函数在点处可导，那么在点处连续．证明因为在点处可导，即，其中，所以．根据连续的定义可知在点处连续．注：（1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导．（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导．例10讨论函数在点处的连