同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分.docx

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1、第二篇一元函数微积分第二章导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．第1节导数的概念1.1导数概念的引入1.1.1质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s与运动时间t的函数关系式记为ss(t)，求在t0时刻时质点的瞬时速度v(t0)为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从

2、时刻t0改变到时刻t0t，在时间增量t内，质点经过的路程为ss(t0t)s(t0)，在t时间内的平均速度为vss(t0t)s(t0)，tt当时间增量t越小时，平均速度v越接近于时刻t0的瞬时速度v(t0)，于是当t0时，v的极限就是质点在时刻t0时的瞬时速度v(t0)，即v(t0)limvlimslims(t0t)s(t0)．t0t0tt0t1.1.2平面曲线的切线斜率问题已知曲线C:yf(x)，求曲线C上点M0(x0,y0)处的切线斜率．欲求曲线C上点M0(x0,y0)的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．图2-1

3、1如图2-1所示，取曲线C上另外一点M(x0x,y0y)，则割线M0M的斜率为kM0Mtanyf(x0x)f(x0)．xx当点M沿曲线C趋于M0时，即当x0时，M0M的极限位置就是曲线C在点M0的切线M0T，此时割线的倾斜角趋于切线的倾斜角，故切线的斜率为klimtanlimyf(x0x)f(x0)xlim．x0x0x0x前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可

4、以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质——导数．1.2导数的概念1.2.1函数在一点处的导数定义1设函数yf(x)在点x0的某领域U(x0,)内有定义，自变量x在x0处取得增量x，且x0xU(x0,)时，函数取得相应的增量yf(x0x)f(x0)，如果极限limyf(x0x)f(x0)limxx0xx0存在，那么称函数yf(x)在点x0可导，并称此极限值为函数yf(x)在点x0的导数，记作f(x0),ydydf(x)xx0,,d

5、xxx0dx，即xx0f(x0)limf(x0x)f(x0)．x0x注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式f(x0)limf(x)f(x0)；xx0xx0f(x0)limf(x0h)f(x0)．h0h（2）若极限limy不存在，则称函数yf(x)在点x0不可导．特别地，若x0xlimyyf(x)在点x0的导数为无穷大，此时yf(x)在点x0的切线，也可称函数x0x存在，它是垂直于x轴的直线xx0．2例1设f(x)1，求f(3)．x解根据导数的等价定义，可得f(3)limf(x)f(3)lim111lim11．x3x3x3x3x3x33x9例2设

6、f(x0)2，求下列极限：（1）limf(x03x)f(x0)；（2）limf(x0h)f(x0h)．x0xh0h解（1）limf(x0x0（2）limf(x0h0f(x0limh03x)f(x0)3limf(x03x)f(x0)3f(x0)xx03xh)f(x0h)limf(x0h)f(x0)f(x0)f(x0hh0hh)f(x0)f(x0h)f(x0)(x0)4．hlimh2fh06．h)1.2.2单侧导数导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义．定义2（1）设函数yf(x)在点x0的某左邻域内有定义，

7、当自变量x在点x0左侧取得增量x时，如果极限limf(x0x)f(x0)或limf(x)f(x0)存在，则称此极限x0xxx0xx0值为yf(x)在点x0的左导数，记为f(x0)，即f(x0)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)．x0xxx0xx0（2）设函数yf(x)在点x0的某右邻域内有定义，当自变量x在点x0右侧取得增量x时，如果极限limf(x0x)f(x0)或limf(x)f(x0)存在，则称此极限值为x0xxx0xx0yf(x)在点x0的右导数，记为f(x0)，即f(x0)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

8、．x0xxx0xx0由极限存在的充要条件可得函数yf(x)在点x0可导的充要条件如下：定理1函