浅谈一个超越不等式在解高考压轴题中应用(PDF版).pdf

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1、浅谈一个超越不等式在求解高考压轴题中的应用摘要：本文介绍一个重要的超越不等式，以及它的导出、推广形式，并详细阐述它们在求解高考压轴题中的重要应用。关键词：超越不等式；高考；压轴题一、一个重要超越不等式及其导出、推广形式（一）基本不等式xe≥x+1,x∈R，当且仅当x=0时等号成立。证明过程如下：设f(x)=ex-x-1，则f′(x)=ex-1，令f′(x)=0，得x=0。且当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0，∴f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0，即f(x)≥f(0)=0，∴ex≥x+1成

2、立。x该不等式的几何意义如图一所示：函数y=e所表示的曲线在直线y=x+1的上方且与该直线相切。切点坐标为(0,1)，即当x=0时不等式中的等号成立。（二）基本不等式的变形yy=ex上述基本不等式有很多实用y=x+1y=x变形，例如：当x＞-1时，将不y=x-1等式两边取自然对数即得到导出不等式一：(0,1)y=lnxx≥ln(x+1)，x∈(-1,+∞)当且仅当x=0时等号成立。xO(1,0)当x＞0时，用x-1代替上式中的x，又可得到导出不等式二：x-1≥lnx，x∈(0,+∞)当且仅当x=1时等号成立。其几

3、何意义亦如图一所示。（三）基本不等式的推广图一y=menx(n>0)推论一：若x∈R，且ex≥kx+bnxyy=me(n<0)y=kx+bx恒成立，则必有k≥0且函数y=e所表示的曲线在直线y=kx+b的上方且与该直线至多有一个公共点。⒈若k=0，则b≤0，此时直线为xx轴（即曲线y=e的水平渐近线）或xx轴下方与x轴平行的直线。不等式中的“＞”成立。x⒉若k＞0，则直线与曲线y=e相离或相切。相切时可设切点坐标为(x,ex0)，则有kex0,b(1x)ex000图二（求导后代入直线的点斜式方程即得），当且

4、仅当xx时不等式中的等号成立。01nx推论二：若x∈R，且me≥kx+b(m>0,n≠0)恒成立，则必有n>0,k≥0（或nxn<0,k≤0）且函数y=me所表示的曲线在直线y=kx+b的上方且与该直线至多有一个公共点。nx⒈若k=0，则b≤0，此时直线为x轴（即曲线y=me的水平渐近线）或x轴下方与x轴平行的直线。不等式中的“＞”成立。nx⒉若k＞0（或k<0），则直线与曲线y=me相离或相切。相切时可设切点坐标为(x,menx0)，则有kmnenx0,bm(1nx)enx0，当且仅当xx时不等式中的

5、000等号成立。推论一、二的几何意义如图二所示二、应用举例例1：（2012年天津理科试卷20）已知函数fxx()=ln(+)xa的最小值为0，其中a>0.（Ⅰ）求a的值；解析：（Ⅰ）函数fxx()=ln(+)xa最小值为0，∴x≥ln(x+a)，对照导出不等式一，即得a=1。例2：（2011年湖北理科试卷21）（Ⅰ）已知函数f(x)=lnx-x+1，x(0,)，求函数fx()的最大值；解析：（Ⅰ）函数f(x)=lnx-x+1，x(0,)对照导出不等式二，有lnx≤，x-1，∴f(x)的最大值为0。

6、例3：（2012年辽宁理科试卷21）设a,bR,a,b为常数,函数3f(x)ln(x1)x1axb，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切。2（I）求a,b的值；9x（II）证明：当0x2时，f(x)。x6解析：（Ⅰ）易求a0,b1。（II）令g(x)(x6)f(x)9x(x6)[ln(x1)x11]9x，则11g'(x)f(x)(x6)f'(x)9f(x)(x6)()9x12x1(x6)(2x1)(x6)(2x1)f(x

7、)9ln(x1)x1192(x1)2(x1)21由导出不等式一知，当x＞0时，ln(x+1)＜x；另外，当x＞0时，x1＜1+x，21212这是因为1x＜1xx(1x)，两边开平方即得。421(x6)(21x)123(x6)(6x)当0x2时，g'(x)xx9x922(x1)24(x1)26x(x1)(x6)x(7x18)904(x1)4(x1)故g(x)在x(0,2)上是单调递减函数，又因为g(0)6(ln111)

8、00，所以当9xx(0,2)，g(x)g(0)0，即f(x)x6点评：本题第（II）问证明过程中除用到了导出不等式一外，还用到了另外1一个比较重要的不等式：x11x，当且仅当x0时等号成立。这两个不等2式可以说是这一题目的“题眼”。lnxk例4：（2012年山东理科试卷22）已知函数f(x)（k为常数，xec=2.71828……是自然对数的底数），