（2015湖北）一种画椭圆的工具如图i所示．o是滑槽ab的中点，短杆on可绕o转动

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1、（2015湖北）一种画椭圆的工具如图I所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动　　（2015湖北）一种画椭圆的工具如图I所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N铰链ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．　　（1）求椭圆C的方程；　　（2）设动直线l与两定直线l1：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：三角形OPQ的面

2、积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．　　解：（1）∵

3、OM

4、≤

5、MN

6、+

7、NO

8、=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，　　同理

9、OM

10、≥

11、MN

12、-

13、NO

14、=3-1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．　　∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，　　其方程为x216+y24＝1．　　（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=-4，都有S△OPQ=12×4×4＝8，　　②直线），　　原点O到直线PQ的距离d=

15、m

16、1+k2和

17、PQ

18、=1+k2•

19、xP-xQ

20、，　　可得S△OPQ=12

21、PQ

22、

23、d=12

24、m

25、

26、xP-xQ

27、=12

28、m

29、

30、2m1-2k+2m1+2k

31、=

32、2m21+4k2

33、②，　　将①代入②得S△OPQ=

34、2m21+4k2

35、=8

36、4k2+14k2-1

37、，　　当k2＞14时，S△OPQ=8（4k2+14k2-1）=8（1+24k2-线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k≠±12），　　由y＝kx+mx2+4y2＝16消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，　　∴△=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-16）=0，即m2=16k2+4，①，　　由y＝kx+mx-

38、2y＝0，可得P（2m1-2k，m1-2k），同理得Q（-2m1+2k，m1+2k8，　　当0≤k2＜14时，S△OPQ=8

39、4k2+14k2-1

40、=-8（4k2+14k2-1）=8（-1+21-4k2），　　∵0≤k2＜14时，∴0＜1-4k2≤1，21-4k2≥2，　　∴S△OPQ=8（-1+21-4k2）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，　　综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．　　分析：（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；　　（2求解即可．　　点评：本题主要考查

41、椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大