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《数列与函数的极限公式概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{xn}，如果当n无限增大时，其通项xn无限趋过于某个常数A，则称数列{xn}以A为极限，记作：limn→∞xn=A或者xn→A(n→∞)2、当数列{xn}以实数A为极限时，称数列{xn}收敛于A，否则称数列{xn}发散。二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若limn→∞xn=a，则limn→∞xn+1=a2)有界性：收敛数列必有界.（数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列：则它的极限为3即：三、几个需要记
2、忆的常用数列的极限四、运算法则：如果则：二、函数极限：▪函数极限limx→∞f(x)=A的充分必要条件是limx→-∞f(x)=limx→+∞f(x)=A▪函数极限limx→x0f(x)=A的充分必要条件是limx→x0-f(x)=limx→x0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.即limx→x0fx存在⇌limx→x0-fx=limx→x0+fx▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x→x0（或x→∞）时有极限，则其极限惟一.4▪极限运算法则：设li
3、mf(x)=A,limg(x)=B,则1)lim[f(x)±g(x)]=A±B2)lim[f(x)g(x)]=AB3)当B≠0时，limf(x)g(x)=AB4)lim[cf(x)]=climf(x)(c为常数)5）lim[f(x)]k=[limf(x)]k(k为常数)▪小结：当a0≠0,b0≠0时，有limx→∞a0xn+a1xn-1+…+anb0xm+b1xm-1+…+bm=a0b0当n=m时0当nm时▪复合函数运算法则：limx→x0f[φx]=limu→u0fu▪数列的夹逼
4、准则：设有3个数列{xn}{yn}{zn},满足条件：1）yn≤xn≤zn（n=1,2,…）；2）limn→∞yn=limn→∞zn=a，则数列{xn}收敛，且limn→∞xn=a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x0的某去心邻域内有定义，且满足条件：1）g(x)≤f(x)≤h(x);2)limx→x0g(x)=A,limx→x0hx=A.则极限limx→x0fx存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限
5、.▪两个重要的极限：▪重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1▪重要极限Ⅱ：limx→∞(1+1x)x=e,limx→0(1+x)1x=e▪无穷小的性质：41)有限个无穷小的代数和为无穷小.2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小.3)常量与无穷小的乘积为无穷小.4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小.5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A的充要条件是f(x)=A+α(x).其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x)，β=β(x)都是自变量同
6、一变化过程中的无穷小.1.若limβα=c(c≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小.2.若limβα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α.3.若limβα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α)4.若limβαk=c(c≠0,k是正整数),则称β与α是k阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β-α=oα或β=α+o(α)6.α,β,α',β',都是自变量同一变化过程中的无穷小,且α~α',β~β',limβ'α'存在，则有limβα=limβ'α'▪常用等
7、价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能]x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex-1;1-cosx~x22；(1+x)a-1~ax(a≠0);ax-1~xlna(a>0,a≠1);n1+x-1~xn常用等价无穷小：当变量时，1+x-1~12x．▪无穷大：函数无穷大⇀↚无界x⟶x0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x)≠0,则1f(x)为无穷大.4[注：分母极限
8、为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0fx=f(x0).最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一
