极限概念与数列的极限

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1、极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限刘海滨极限概念与数列的极限三国时的刘徽提出的的方法。他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。“割圆求周”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。如果变量X按照某一规律无限地接近一个常数C,则称C为X的极限。记作或极限概念与数列的极限定性描述limX=CX→ClimX=CX→ClimX=CX→C极限概念与数列的极限定量分析1项号项这一项与0的差的绝对值12345678

2、……………………定量分析212345678…项号边数内接多边形周长241263极限概念与数列的极限2.5980762113533.0000000000003.1058285412303.132628613281483.139350203047963.1410319508911923.1414524722853843.141557607912……………1x2数列极限的ε-N定义极限概念与数列的极限一般地，对于数列{an}，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项aN，使得这一项后

3、面的所有项与A的差的绝对值都小于ε（即当n>N时，

4、an-A

5、<ε恒成立），就把常数A叫做数列{an}的极限，记作an=A。考察数列的极限：21+（-1)n+1极限概念与数列的极限1x2已知数列21+（-1)n+1(1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值;(2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于0.1?都小于0.001?都小于0.0003?(3)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε?(4)1是不是这个数列的极限?解：（1）这个数列的各项与1的差的绝对值依次是1，（2）（4）（

6、3）.例1是这个数列的极限1极限概念与数列的极限（1）就极限的全过程来说，ε必须具有绝对的任意性。只有这样，当n>N时，不等式

7、an-A

8、〈ε恒成立，才能表明数列{an}无限趋近于A。（2）就极限的全过程的某一瞬间来说，ε又是具体给定的。随着ε取值的越来越小，表明数列{an}不断趋近于A的无限过程。（3）数列{an}的极限是A。an可能比A小，无限趋近于A；无限趋近于A；an也可能时而小于A时而大于A，无限趋近于A…...an也可能比A大，数列极限定义的说明极限概念与数列的极限判断下列命题是否正确（正确的

9、选√，不正确的选×）：(1)对于数列{an},如果存在常数A,当正数ε等于0.1,0.01,0.001时，都能在数列中找到一项aN，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε，则A是数列{an}的极限………………………….()(2)对于数列{an},如果存在常数A,无论预先给定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项aN，使得这一项后面的所有项都属于开区间（A-ε，A+ε）,则A是数列{an}的极限..………………….()(3)如果数列{an}的每一项都是A,那么数列{an}的极限是A。()(4)在数列极

10、限的“εN”定义中，N的取值由ε来决定，即一旦ε取定，N就只能是某一固定的自然数。……………………….()(6)若数列的极限是A，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列的极限仍为A。……………………………………………….()(5)如果数列{an}的极限是A,那么对于预先给定的小正数ε，在区间（A-ε，A+ε）内一定有该数列的无穷多项。…………..()极限概念与数列的极限判断下列命题是否正确（正确的选√，不正确的选×）：(1)对于数列{an},如果存在常数A,当正数ε等于0.1,0.01,0.001时，都能

11、在数列中找到一项aN，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε，则A是数列{an}的极限。……………………….()(2)对于数列{an},如果存在常数A,无论预先给定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项aN，使得这一项后面的所有项都属于开区间（A-ε，A+ε）,则A是数列{an}的极限。……………….()(3)如果数列{an}的每一项都是A,那么数列{an}的极限是A。()(4)在数列极限的“εN”定义中，N的取值由ε来决定，即一旦ε取定，N就只能是某一固定的自然数。……………………….()(6)若

12、数列的极限是A，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列的极限仍为A。………………………………………………..()(5)如果数列{an}的极限是A,那么对于预先给定的小正数ε，在区间（A-ε，A+ε）内一定有该数列的无穷多项。…………..()极限概念与数列的极限判断下列命题是否正确（正确的选√，不正确的选×）：(1)对于数列{an},如果存在常数A,当正数ε等于0.1,0.01,0.001时，都能在数列中找到一项aN，使得这一项