数列和函数极限的概念

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1、E-mail:jndzcw@163.comTel:13864169003济南大学数学科学院主讲教师张长温微积分引言（一）上大学学什么？（清华大学老师）珍惜时光三个方面做人之道,治学之方,健身之术学会向书本、老师、周围学学会自学尝试研究性的学习方法：提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：有计划地安排学习（二）学数学学什麽？数学的基本特征抽象性演绎性广泛性（研究对象）（论证方法）（应用）假设结论logic理性思维微积分基本内容简介微积分微分极限积分—一元函数极限，二元函数极限—一元函数积分，二元函数积分连续

2、导数—一元函数连续，二元函数连续—一元函数导数，二元函数偏导数级数，微分方程推荐参考书：同济大学编《高等数学》（第六版）（上、下）高等教育出版社几个新概念第一章函数1集合的笛卡尔乘积特例:记为平面上的全体点集.定义设有数集A与B.对任意的所有二元有序数组(x,y)所构成的集合,称为集合A与B的笛卡尔乘积，即2邻域的概念数集邻域，点x0的左邻域:点x0的右邻域:3函数的有界性使称为D上的有界定义设函数f(x)定义在集合D上，如果对于函数.否则，称函数f(x)在集合D上无界.说明:还可定义函数f(x)在集合D

3、上有上界、有下界若函数f(x)在集合D上是有界函数，也称函数f(x)在集合D上是有界的例如函数sinx,cosx在其定义域内有界.函数y=x在其定义域内无界.如果存在一个实数M，对每一个都有则称函数f(x)在集合D上有上界.如果存在一个实数N，对每一个都有则称函数f(x)在集合D上有下界.如果函数f(x)在集合D上即有上界又有下界，则f(x)在集合D上有界.无界函数的定义如果对任意的正实数M，总存在使得例如函数但是，4反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即如果则在定义域D与值域f(D)之间就有如下关系：这是

4、一个由f(D)到D之间的新的对应关系：称为函数的反函数，记作由定义可以知道：反函数的定义域是函数f的值域f(D)；函数的值域是函数f的定义域D.例如函数由于严格单调，有反函数.再例如函数严格单调，有反函数.习惯上,记5隐函数因变量y是自变量x的函数，但y不能用x的一个数学表达式表示出来.这样的函数称为隐函数.隐函数一般由方程F(x,y)=0确定.也就是已知y是x的函数，且y和x的关系满足方程F(x,y)=0.数学表达式表示出来.这样的函数称为显函数.因变量y是自变量x的函数，且y能用x的一个例如y是x的函数且

5、y和x的关系由方程确定的函数.6初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.常数、(2)初等函数由基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.非初等函数举例符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当注意：二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义数列极限的内容：第二章极限与连续1）极限内容：数列的极限、函数的极限.一、数列（无穷数列）的极限的定义首先看下面几个例子：例如,趋势不定

6、收敛发散数列极限的描述性定义：定义对于数列　，如果当n无限增大时，数列趋近于一个确定的常数A，时，数列则称当n趋于无穷大以A为极限，记作亦称数列收敛于Ａ；是发散的．如果数列没有极限，就称数列极限就是当n无限增大时，数列的变化趋势.趋于一个常数A的含义：与常数A“无限接近”.数列极限的严格数学定义（定义）定义如果对于任意给定的正数总存在一个正整数N（或者），恒成立，的极限为则称当n趋于无穷大时，数列A,记作亦称数列收敛于Ａ；是发散的．如果数列没有极限，就称当n>N时,总有即几何解释:例1.设证明等比数列的极限为

7、0.即（常用结论.记住！）注意：二、收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一.2.收敛数列一定有界.即如果则一定存在一个正数使得对所有的n，成立.3.收敛数列的局部保号性.即如果则一定存在一个正整数N，使得当C为常数.三、极限存在准则1.两边夹法则;2.单调有界法则.1.两边夹法则(准则1)例.证明证:利用两边夹法则.由后面可以知道，2.单调有界数列必有极限(准则2).即单调增有上界，或者单调减有下界的数列一定收敛.二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容

8、:函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限例考虑函数，当x趋于无穷大时的变化趋势.容易看出：当x趋于无限增大或无限减小时，函数无限接近0.事实上，0就是当x趋于无限增大或无限减小时，函数的极限.自变量趋于无穷时函数极限的直观定义定义对于函数f(x)，当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)和某常数A无限接近，则称函数f(x)以常数A为极限，记做两种特殊情况:简单的常用结论二、自变量趋于有限值时函数的极