数学教案－双曲线的几何性质

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1、为认真贯彻落实市、区有关农村工作会议精神，学习借鉴外地先进经验，加快我乡经济建设步伐，推进农业产业化、标准化进程数学教案－双曲线的几何性质　　?§8．4双曲线的几何性质（第1课时）　　㈠课时目标　　1．熟悉双曲线的几何性质。　　2．能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。　　3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。　　㈡教学过程　　[情景设置]　　叙述椭圆的几何性质，并填写下表：　　方程　　性质　　图像（略）　　范围-a≤x≤a，-b≤y≤b　　对称性对称轴、对称中心　　顶点（±a，0）、（±b，0）　

2、　离心率e=(几何意义)　　　　[探索研究]　　1．类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。　　双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。　　双曲线与椭圆的几何性质对比如下：近年来，该市紧紧围绕“全省进前列，百强上位次”的发展目标，不断调整优化农业结构，全面推进农业产业化、标准化、国际化进程，促进了全市农业农村经济的快速发展。为认真贯彻落实市、区有关农村工作会议精神，学习借鉴外地先进经验，加快我乡经济建设步伐，推进农业产业化、标准化进程　　方程　　性质　　图像（略）（略）　　范围-a≤x≤a，-

3、b≤y≤bx≥a，或x≤-a，y∈R　　对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心　　顶点（±a，0）、（±b，0）（-a，0）、（a，0）　　离心率0＜e=＜1　　e=＞1　　下面继续研究离心率的几何意义：　　（a、b、c、e关系：c2=a2+b2，e=＞1）　　2。渐近线的发现与论证　　根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把画出来吗？（能）　　根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把画出来吗？（不能）　　通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。　　我们能较为准确地画出曲线y=，这是为什么

4、？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。　　问：双曲线有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？　　引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：近年来，该市紧紧围绕“全省进前列，百强上位次”的发展目标，不断调整优化农业结构，全面推进农业产业化、标准化、国际化进程，促进了全市农业农村经济的快速发展。为认真贯彻落实市、区有关农村工作会议精神，学习借鉴外地先进经验，加快我乡经济建设步伐，推进农业产业化、标准化进程　　y=±=±　　当x无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲

5、线y=±　　与直线y=±无限接近。　　这使我们猜想直线y=±为双曲线的渐近线。　　直线y=±恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a，y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。　　证法1：如图，设M（x0，y0）为第一象限内双曲线上的仍一点，则　　y0=，M（x0，y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：　　∣MQ∣==　　=．　　点M向远处运动，x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于y=　　故把y=±叫做

6、双曲线的渐近线。　　3．离心率的几何意义　　∵e=，c＞a，∴e＞1由等式c2-a2=b2，可得===　　e越小（接近于1）越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）　　e越大越大，双曲线开口越大（开阔）　　4．巩固练习近年来，该市紧紧围绕“全省进前列，百强上位次”的发展目标，不断调整优化农业结构，全面推进农业产业化、标准化、国际化进程，促进了全市农业农村经济的快速发展。为认真贯彻落实市、区有关农村工作会议精神，学习借鉴外地先进经验，加快我乡经济建设步伐，推进农业产业化、标准化进程　　求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。　　①4x2-y2=

7、4②4x2-y2=-4　　已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程　　①M（4，）②M（4，）　　[知识应用与解题研究]　　例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。　　例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）　　㈣提炼总结　　1。双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。　　2。渐近线是双曲线特有的性质，其发现

8、证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。　　3。双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。　　近年来，该市紧紧围绕“全省进前列，百强上位次”的发展目标，不断调整优化农业结构，全面推进农业产业化、标准化、国