§5.3 中心极限定理

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1、§5.3中心极限定理一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结1西南财经大学天府学院中心极限定理的客观背景在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准技术，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素对弹着点所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢？2西南财经大学天府学院如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个因素对这种综合影响所起的作用不大.则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量

2、误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.高斯当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？3西南财经大学天府学院由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.设为一随机变量序列，其标准化随机变量在什么条件下,从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为中心极限定理（CentralLimitTheorems）。这里仅介绍独立同分布场合下的中心极限定理。4西南财经大学天府学院基本定理定理1

3、（列维-林德贝格中心极限定理）5西南财经大学天府学院定理1表明:6西南财经大学天府学院在定理1的条件下，n充分大时从而7西南财经大学天府学院注意(1)一般地,只要n比较大,就可应用以上定理;(2)应用该定理时,需要找出独立同分布的随机变量序列以及它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法.8西南财经大学天府学院李雅普诺夫补充定理(李雅普诺夫定理)9西南财经大学天府学院则随机变量之和的标准化变量10西南财经大学天府学院定理表明:(如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的推论是定理1的特殊情况.11西南财经大学天府学院德莫佛拉普拉斯推

4、论(德莫佛－拉普拉斯定理)推论表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.12西南财经大学天府学院下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.13西南财经大学天府学院中心极限定理的意义在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.14西南财经大学天府学院典型例题【例1】在一零售商店中，其结帐柜台为各顾客服务的时间（以分计）是相互

5、独立同分布的随机变量，均值为1.5，方差为１．(1)求对100位顾客的总服务时间不多于２小时的概率。(2)要求总的服务时间不超过１小时的概率大于0.95，问至多能对几位顾客服务．15西南财经大学天府学院解(1)以Ｘi(i=1,2,…,100)记对第i对顾客的服务时间．按题意要求概率为由于Ｘ1,X2,…,X100相互独立且服从相同的分布，由定理１得16西南财经大学天府学院(2)设能对Ｎ位顾客服务，以Ｘi(i=1,2,…,100)记对第i对顾客的服务时间．按题意需要确定最大的Ｎ，使由定理１，当Ｎ充分大时，上式可写成因Ｎ为正整数，故取Ｎ＝3

6、3．即最多只能为33个顾客服务，才能使总的服务时间不超过１小时的概率大0.95．17西南财经大学天府学院一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3º的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角大于3º的概率是多少？解将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3º的次数为X,则X是一个随机变量,【例2】18西南财经大学天府学院所求概率为分布律为直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理19西南财经大学天府学院20西南财经大学

7、天府学院某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛－拉普拉斯定理知,【例3】21西南财经大学天府学院保险公司亏本的概率22西南财经大学天府学院对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会

8、议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解【例4】23西南财经大学天府学院根据定理24西南财经大学天府学院25西南财经大学天府学院由德莫佛－拉普拉斯定理知,26西南财经大学天