§3-4大数定律及中心极限定理

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1、§3.4大数定律及中心极限定理实验者掷硬币次数出现正面次数频率蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.50051、实际背景随机事件在一次试验中，可能发生，也可能不发生，具有很大的偶然性，但是大量的重复试验，则呈现某种规律性。如掷一枚硬币，观察出现正面，还是反面。掷一次谁也无法预言是出现正面，还是反面。但是大量重复抛掷，则出现正与反面的可能性均是1/2，这就是事件频率的稳定性。一、大数定律任何随机试验，事件发生的频率随着试验次数的增多逐渐稳定于某一常数——概率，为什么有这

2、一规律？这是由于大量试验过程中随机因素相互抵消相互补偿的结果。用极限方法来研究大量独立随机试验的规律性的一系列定理，称为大数定律。2、两个重要慨念若随机变量X1,X2,…,Xn…是相互独立，若对所有Xi(i=1，2，…)有相同的分布，则称X1,X2,…,Xn…是独立同分布的随机变量序列.(1).独立同分布定义例1.不改变条件,连续抛掷硬币,令随机变量(2).依概率收敛定义说明依概率收敛是指当n无限增大时，事件（

3、Xn-a

4、<ε）发生的概率无限接近于1。或Xn落在（a-ε，a+ε）的概率无限接近于1。二、两个大数定理定理1(切比

5、雪夫大数定律)设X1,X2,…,Xn…是一个随机变量序列,且E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…）则对任意正数,有说明（1）以上定律可简写为（2）是前n个随机变量的算术平均值，定理1说明算术平均值以概率几乎是1接近于期望值。这为寻求随机变量的期望值提供了切实可行办法：也就是当观察次数无限增多时，观察结果的算术平均值几乎变成一个常数，不是随机的了。定理2（贝努利大数定理）设n是n次独立试验中事件A发生的次数，则对任意的正数有证明说明（1）定理2说明当重复试验的次数无限增大时，事件A发生的频率依概率收敛于A的概率

6、，即（2）在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率代替事件发生的概率，即正态分布在概率统计中占有重要的地位与作用，许多随机变量会遵循正态分布其理论依据是什么？高斯在研究误差理论时已经用到正态分布，以炮弹射击误差为例，XY0二、中心极限定理1、实际背景xyM(X,Y)设靶心是坐标原点，多次射击的结果，炮弹弹着点为(X,Y)，它是二维随机变量，都认为它服从正态分布，它的每一个分量X和Y服从正态分布，这到底为什么？要搞清误差是怎样的一个随机变量？首先要弄清误差X，Y的原因是什么？以横坐标总误差X为例，即使炮身在瞄准后不

7、再改变，X=X1+X2+X3+X4+······那么每次射击后，它也会因震动而产生微小的偏差X1；每发炮弹外型细小差别而引起空气阻力不同，而出现误差X2；每发炮弹内的炸药的数量和质量的微小差别而引起的误差X3；炮弹前进中遇到空气流的的微小扰动而造成弹着点的误差X4；等许多原因。每种原因引起的误差，有时为正，有时为负，都是随机的，而弹着点的总误差X就是这许多随机误差的总和，即而且这些小误差可以看成彼此相互是独立的，因此要讨论X的分布，就要讨论独立随机变量和的分布问题，中心极限定理就是研究在什么条件下独立随机变量序列和的极限分布服

8、从正态分布的一系列定理的总称。由于正态分布在概率论理论和应用中占有中心地位，因此这些定理称为中心极限定理。一般来说，如果某个随机变量是由大量相互独立的随机因素综合影响形成的，而其中每一项因素对总和的影响是“均匀微小的”，那么可以断定这个随机变量服从或近似服从正态分布中心极限定理是用极严格的数学推导来论证这一事实。下面介绍中心极限定理的基本形式。定理3（同分布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,…,Xn…独立同分布,且E(Xk)=,D(Xk)=2≠0，k=1,2,…则对任意实数x有二、两个中心极限定理说明Yn即前n个随机变

9、量和标准化，当n→∞时，以标准正态分布为极限。所以当n充分大时，可以以标准正态分布作为它的近似分布。这就是正态分布在概率论中占有重要地位的一个基本原因。（2）在很多问题中，所考虑的随机变量都可以看成很多独立的随机变量之和，(这些随机变量并不一定同分布）只要满足一定的条件，它们也以正态分布为极限。例如在任一指定时刻一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和，一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的可加的微小误差的合成，它们往往近似地服从正态分布。定理4（德莫佛—拉普拉斯定理）设n是n次独立、试验中事件A发生的次数,p是每次试验中事

10、件A发生概率(0