具有双时滞的离散sis传染病模型稳定性分析

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1、具有双时滞的离散SIS传染病模型稳定性分析【摘要】首先我们通过非标准有限差分法将连续的SIS模型化成离散模型.接着分析此模型的无病平衡点E0,地方性平衡点E*以及阈值0;当0>1时，无病平衡点全局稳定；反之疾病持续.【关键词】非标准有限差分法；全局稳定；持续；时滞1.引言在连续的SIS传染病模型，如文献［1］根据传染病的生物意义考虑潜伏时滞与康复时滞.在文献［2］中又考虑这样的时滞/wOl(t-s)dn(S),而文献［3］的作者根据非标准有限差分法将此系统化成差分系统，从而也得到与文献［2］相同的结论.基于以上学者的基础我们首先考虑一个SIS模型如下：S⑴'=

2、X-3(I)S(t)/t01(t-s)dn(s)-uIs(t)+Ye-u2«I(t-W),

3、(t)'=(I)S(t)/T01(t-s)dn(s)-(y+u2)I(t).(1)2.模型以及无病平衡点的稳定性将模型(1)通过非标准有限差分法化成差分模型如下：Sn+l-Sn-=入-uISn+l-3(In)Sn+lZtk=Oln-knk+ye-u2«

4、n-«,ln+l-ln=(In)Sn+lEtk=Oln-knk-(u2+y)I(t).(2)这里Sn，In分别表示易感者组和感染者组；正常数入，ul，U2，丫分别表示出生率，易感者死亡率，感染者死亡率和康复率；3(I)表

5、示单位时间内有效接触率，发生P(In)Sn+lZtk=Oln-knk形式也说明时滞的变化.根据文献［3］，我们假定3(I)是正定的函数且存在印>0使3(I)在区间［0,1自］上是非减的;t^O,G)>0是时滞；在根据文献［2］定义数列是非减且有界变集O:-°°0,i=l,2.当0(1)=3〉0是常数，系统(6)的无病平衡点是E0=(S0，0)，S0=Xp1.我们令正数A=Ztk=Oln-knk并且定义阈值0^0(0)A入P1(P2+y).如果O>1，系统(2)有一个地方性平衡点E*=(S*，I*),s*=u2+yA,l*=X-ulS*u2+y-ye-u2w.引

6、理1对系统(2)任意的解(Sn,In)当neN时，那么(Sn,In)>0.证明根据系统(2)的第一个方程我们得到Sn+1=入+Sn+ye-u2cdln-wi+ui+(In)Ztk=Oln-knk,从初值条件(3)和S0>0，很容易看出Sl>0，以此类推我们很容易得到Sn>0.再从(2)的第二方程，我们得至ijln+l=ln+0(In)Sn+lZtk=0ln-knkl+u2+y,当n>0时，从初值条件(3)和Sl>0，我们得到11>0,以此类推我们很容易得到ln>0.引理1得证.定理1对于系统(2)的任意解(Sn,In),那么人口总数Nn=Sn+ln满足lims

7、upn-*+°°Nn^入u1.证明首先我们定义人口总数Nn^Sn+ln.从系统(2)我们得到Nn+1-Nn=入-uISn+l-u2ln+l-u3Rn+l.(4)根据生物的自然意义我们可知Plo所以u10,其次我们使用类似于文献［3］当中的建立Lyapunov函数的方法证明无病平衡点E0的稳定性.定理2当o0(i=l，2)，Av=Vn+l-Vn=ln+l-ln+clEtk=0(ln+1nk-ln-knk)+c22{(Sn+l-SO)2-(Sn-SO)2}.又因为当n彡0时SnO(i=l,2，3,4)满足clA