高考数列专题总结(全是精华)

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1、数列专题复习（0929）一、证明等差等比数列1．等差数列的证明方法：（1）定义法：(常数)（2）等差中项法：2．等比数列的证明方法：（1）定义法：(常数)（2）等比中项法：例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn．解：设等差数列｛an｝的公差为d，则Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．∵，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n2－n．例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和

2、Sn满足关系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）求证：数列{an}是等比数列；解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t①3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t②①－②得3tan－（2t+3）an－1=0∴，（n=2，3，…）所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列.练习：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列

3、｛an｝的通项；答案.(2),;二．通项的求法（1）利用等差等比的通项公式(2)累加法：例3．已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，（3）构造等差或等比或例4．已知数列满足求数列的通项公式；解：是以为首项，2为公比的等比数列。即　例5．已知数列中，,，求.解：在两边乘以得：令，则,解之得：,所以.4练习:已知数列满足，且。（1）求；（2）求数列的通项公式。解：（1）（2）∴（4）利用例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.求数列的通项公式；解：……2分当当……4分练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足

4、10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n

5、－32．设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得：（其中n为正整数）（II）所以：（5）累积法转化为，逐商相乘.例7．已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，练习：1.已知，，求。解：。2．已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项4解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。例8：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。解：取倒数：是等差数列，练习：已知数

6、列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；解：将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）三．数列求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、错位相减法求和{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例9．求和：解：由题可知，设………………………①…②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴练习：求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①…………②①－②得∴4、倒序相加法求和

7、这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例10．求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）4当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）（1）为等差数列，（2）例11．求

8、数列的前n项和.解：设，则＝例12．在数列{an}中