《向量知识点职高》word版

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1、新高度教育向量知识点1.有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为始点,B为终点的有向线段记作,应注意:始点一定要写在终点的前面,已知,线段AB的长度叫做有向线段的长(或模),的长度记作.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2.向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段表示向量时,我们就说向量.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、

2、c、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母、、、…等.与向量有关的概念有:(1)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量和同向且等长,即和相等,记作=.(2)零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作.零向量的方向不确定.(3)位置向量:任给一定点O和向量,过点O作有向线段,则点A相对于点O的位置被向量所aaa唯一确定,这时向量又常叫做点A相对于点O的位置向量.(4)相反向量:与向量等长且方向相反的向量叫做向量的相反向量,记作.显然,.(5)单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作.与向量同方向的单位向量通常记作,容易看出:

3、.(6)共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量平行于向量,记作∥.零向量与任一个向量共线(平行).3.已知向量、,在平面上任取一点A,作,,作向量,则向量叫做向量与的和(或和向量),记作+,即.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.4.已知向量、,在平面上任取一点A,作,,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+=+第4页共4页新高度教育.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边

4、形法则.5.已知向量、,在平面上任取一点O,作,,则+=,向量叫做向量与的差,并记作-,即=.由此推知:(1)如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;(2)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量;(3)一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.6.向量加法满足如下运算律:(1);(2).7.数乘向量的一般定义:实数和向量的乘积是一个向量,记作.当时,与同方向,;当时,与反方向,;当或时,.8.数乘向量满足以下运算律:(1)1=,(-1)=;(2);(3);(4).9

5、.平行向量基本定理:如果向量,则的充分必要条件是,存在唯一的实数,使.该定理是验证两向量是否平行的标准.10已知轴,取单位向量,使与同方向,对轴上任意向量,一定存在唯一实数x,使.这里的x叫做在轴上的坐标(或数量),x的绝对值等于的长,当与同方向时,x是正数,当与反方向时,x是负数.(1)设,,则①当且仅当;②=.这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(2)向量的坐标通常用AB表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:AB+BC=AC.(3)轴上向量的坐标运算:起点和终点在

6、轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x上,若点A的坐标为,点B的坐标为,则AB=.可得到数轴上两点的距离公式:.第4页共4页新高度教育11.平面向量的分解定理:设,是平面上的两个不共线的向量,则平面上任意一个向量能唯一地表示成,的线性组合,即.12.直线的向量参数方程：(t为参数):①;②;③.特别地,当时,,此为中点向量表达式.12在直角坐标系XOY内,分别取与x轴、与y轴方向相同的两个单位向量、,在XOY平面上任作一向量,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序实数对,使得,则叫做向量在直角坐标系XOY中的坐标,记作.13向量的直角坐

7、标:任意向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标,即若A、B,则.向量的直角坐标,也常根据向量的长度和方向来求:.14.向量的坐标运算公式:设,则:;;.15.向量的长度(模)公式:若,则;若A,B,则.16.中点公式:若A,B,点M(x,y)是线段AB的中点,则.17.平移是一种基本的几何(保距)变换,它本身就是一个向量.教材中有点的平移和坐标轴的平移(平面解析几何中讲到).18.在图形F上任取一点P(x,y),设平移向量到图形上的点,则点的平移公式为:.19.以x轴的正半轴为始边,以射线OA为终边的角,叫做向量的方向角.向量在轴上的投影数量为.2

8、0.两个向量,的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系:第4页共4页新高度教育(1)两个