资源描述：
《近世代数学习指导08年秋季》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、近世代数学习指导1.判断下列二元关系是否是等价关系:设；；；.提示:不是等价关系，因为，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性；是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性；不是等价关系，因为，即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性；不是等价关系，因为，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性．2.设{所有偶数},•是普通数的乘法.证明:与不同构.提示若与同构,设是使其同构的同构映射.设,那么,所以.若,则,显然矛盾；若,即,则,这样就有-1,1的象都是0,这与是一一映射矛盾.所以,与不同构.3．设，的代数运算由下表给定：1.集合上的变换有几个？
2、集合上的单变换有几个？2.定义在上的自同态映射有几个？3.定义在上的自同构有几个？并具体写出来？提示：1.27;62.93.2；；4.分别举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例子.提示是无单位元的半群；设，是具有左单位元但无单位元的半群；,其中分别表示数的普通乘法、矩阵的普通乘法.5.一个有限群的每一个元的阶都有限.提示设是有限群，任取,则不能全不相同,因中只有有限个元素之故．设,则是自然数．命,则非空,而自然数的非空集合有最小元,设的最小元为,则,即是的周期.6.设群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则是交换群.提示,因
3、,而,故,由消去律知；任取则有,又,但,故进而,，即是交换群.7.设的周期为,的周期为,,且,则的周期为.提示设的周期为.由于,故,又,而,故,但,故.同样可得,再一次利用,有,则有,即的周期为.8.证明：阶是素数的群一定是循环群.提示因,故存在,的周期为,又,而是素数,则,即.9.假定群的元的周期是.证明的周期是,这里是r和n的最大公因子.提示首先；其次,若有自然数,使得,则,故,又,故有整数,使得,且,那么,即,但,故,即,从而.10.假定群的阶为,且.证明：,这里.提示因,故存在整数,使得,这样,有,故是的一个生成元,从而．11.已知置
4、换(1)求的阶；提示因为,且,故．(2)求及其阶；提示因为,故,从而.(3)将表示成形式为的2轮换的乘积.提示因为,,所以.12．求模6加群的每个元的阶及生成元。解：012345阶163236生成元1513．设是群，，并且，，求由生成的子群。解：按定义。由于，并且，从而的任一元素可表为：所以的阶最多是6。又因，所以，因此知是由生成的循环群，其元素为，，，，，。14．设是三次对称群，是的子群。（1）求出关于的所有左陪集和右陪集；（2）写出的所有子群与正规子群。提示：左陪集：；；右陪集：；；子群：六个子群；三个正规子群；15．6阶群至少有一个3阶
5、子群证明：设是一个6阶群,是的单位元，由Lagrange定理,的非单位元的阶只能是2,3,或6.提示：若中非单位元的阶皆为2,则是交换群。设是两个2阶元，则是的4阶子群这与Lagrange定理矛盾，所以中必有3阶元或6阶元。若是6阶元,则是三阶元,因此必有一个3阶子群；若是三阶元，则必有一个3阶子群。16.假定～是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G的任意三个元来说，有～～。证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群。证明：设H=[e],由于～是等价关系，故e～e,即;,则a～e,b～e因而ae～a,be～b,由题设可得e～,e
6、～,由对称性及传递性得～,～e,再由题设得～e即,那么与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群17.一个群的可以写成形式的元叫做换位子,证明：(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合是的一个不变子群,称为的导群或换位子群；提示由于,；的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积,因而仍是的一个元；一个换位子的逆仍是一个换位子,所以的一个元的逆仍是的一个元,这样是的一个子群；对于,，所以是的一个不变子群.(2)／是交换群；令,那么,由此得,即,因而／是交换群.(3)若是的一个不变子群，并且是交换群，那么.提示因为是交换群,所以对的任何两个元和,,由
7、此得,这样含有一切换位子,因而含有.18．设是群到群的满同态，，，则并且。提示设是到的自然映射，则与的合成是到满同态，，并且==，因此由同态基本定理知，并且。19．设是群到群的一个同态满射，,,则。提示，，因此，即；，有，存在，使得，因此，存在，使得，即，因此。20.证明：循环群的子群是循环群.提示:设是一个循环群，。若，则；若，则存在使得，于是，从而是一个非空集合，令是中的最小正整数。，设，则，由最小性的假设可得，于是，因而，因此。故得证。21．设循环群且，证明：若正整数整除，则恰有一个阶子群。证明：对的每一个正因子,，则，令，则是一个阶子
8、群；设是任一个阶子群，则，于是，因而，从而，然而，因而，，从而.22.证明：阶是的群一定包含一个阶是的子群，其中，是素数.提示：取而，则由Lagrange定理知，，
