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1、近世代数辅导（四）（复习指导）第一部分内容提要一、基本概念1.集合概念；子集；运算：交、并、积2.映射定义；满射；单射；一一映射；变换3.代数运算定义；运算律：结合律、交换律、分配律4.同态与同构同态映射；同态满射；同态；同构映射；同构；自同构5.等价关系与集合的分类二、群论1.样的定义及基本性质笫一定义：I,II,in；笫二定义：I,II,iv,v；有限群的另一定义：I,II,nr2.了集定义；判定条件3.群的同态群的同态；样的同构4.变换群与置换群定义；置换的两种表示方法；凯莱定理5.循环群定义；整数加样与模n的剩余类加群；循环样的构造6.子群的陪集右陪集与左陪集；两个元
2、同在一个右（左）陪集的条件；子群的指数；拉格朗口定理7.不变子群与商群不变子群的定义及其判定条件；商群的定义；群的同态基本定理三、环与域1.环的定义及其计算规则2.有附加条件的环交换环；冇单位元环；无零因了环及其特征；整环；除环及其乘群；域3.子环、环的同态子环、子除环的定义及其判定条件；环的同态（同构）4.理想与剩余类环理想（了环）的定义；主理想的定义；剩余类环的定义；环的同态基木定理第二部分思考题1.设A=｛1,2,…，10｝,给出一个AXA到A的映射，这个映射是不是单射？2.设A=｛1,2,3｝,规定A的一个代数运算，这个代数运算是不是适合交换律?3.设人=｛所有实数｝
3、,瓜=｛所有>0的实数｝,给出一个A-L/I间的一一映射。4.设A=｛所有实数｝,给出A的两个不同的一一变换(恒等变换除外)。5.设A=｛所有实数｝,入=｛所有2()的实数｝,A和瓜的代数运算是普通乘法，证明：A到入的映射O:X->X2,xgA是A到入的一个同态满射。1.设A二｛所有有理数｝,A的代数运算是普通加法，证明：A到A的映射①:x—>2x,xeA是A的一个自同构映射。2.举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。3.在一个群G里，若°=°二那么°的阶是多少?为什么？4.四次対称群S4的阶是多少？把S4的元"1234、(1234、<3241,3412丿用循环置换的方
4、法写出来。5.证明：一个循环群一定是交换群。11・证明：阶是素数的群一定是循环群。12.设G=S3=｛(1),(12),(13),(23),(123),(132)),求G的子群H=｛(1),(12)｝的所有右陪集与左陪集，H是不是一个不变子群？13.设群G=S3=｛(1),(12),(13),(23),(123),(132)｝,证明:G的子群N=｛(1),(123),(132))是一个不变子群,并给出商群G/N。14.假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：G/N也是循环群。15.(1)举一个是交换环，无零因子环，但不是有单位元环的例；(2)举一个是除环，但不是域的例。1
5、6.(1)举一个是交换环、有单位元环，但不是无零因子环的例；(2)举一个是除环，但不是整环的例。17.假定R是一个有单位元的无零因子环，JIR对于加法来说作成一个循环群，证明：R是一个整环。18.假定R是一个有n(>2)个元的交换环，且R无零因子，证明：R是一个域。19.假定R是整数环，证明：(2,5)=(1)20.假定R是偶数环，证明：(4)是R的最大理想。第三部分部分思考题解答(I)］：(a,b)Tl,/a,heA<1>2：(a,b)Ta,X/a,bgA都是AXA到A的映射，它们都不是单射。1.由下面两表给出的都是A的代数运算：12313332222前一个不适合交换律，
6、后一个适合交换律。2.<1>：12311232231x—>ex.VxeA是一个人与瓜间的一一映射，这是因为，首先,VxeA,^'是唯一确定的正实数，故①是A到A的映射;其次,7yg=A,Iny=x是一个实数，且①(x)=ex=y,故①是A到兔的满射;最后,Vx“2wA"H兀2,有八工严,故①谢到兔的单射,这样，①是4到兔的一一映射.①I>3x+l,VxgA①2：xt»,VxgA都是4的一一变换.(理由略)5.易证①是A到人的满射，又Vx,yeA,有①(xy)=(xy)2=x2y2=①(兀)①(y),故①是A到刁的一个同态满射・6.易证,①是4的变换，又Vr,ywA,有0(x
7、+y)=2(x+y)=2x4-2y=
