《近世代数》学习指导纲要

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1、《近世代数》学习指导纲要根据网上授课教师所讲的内容（教材第一至第三章）结合本学科的教学要求，特编制木《纲要》，以利于复习。考试范围：教材第一至第三章（除§3.6、§3.10）正文中概念及命题的证明，课后不带*的习题。学习时，为克服概念抽彖的困难，应多举例，从具体实例中去休会概念。＜/PxP＞—、第一章《基本概念》的主要内容及学习要求：（一）、集合与映射1.集合、元素、子集、空集、集合的交与并、余集、补集和笛卡尔积集等概念.集合的两种表示方法：列举全部元素表示集合，以及用元素所具冇的性质表示集合.要求熟悉集合的各种运算，特别是笛卡尔积。会验证集合的相等关系。2.映射、单射、满射

2、、一一映射、逆映射、映射合成、变换和置换等.一-•映射的性质，映射，变换、特别是置换的一些性质以及置换的表示记号.要求会进行是否为映射、单射、满射的验证及映射的相等关系的验证。（二入代数体系1.代数运算的定义、衣示法（冇限集上的运算可用运算农）二元运算2.代数体系带运算的集合把集合与其上所带的运算视为一个整体即为一个代数体系如：（R,+）、（R,*）（R,+,*）等等。3.加于代数体系的一些条件运算律：结合律、交换律、分配律要求了解代数运算的广泛性，代数体系的多样性。熟练运川儿种常见的运算律：结合律、交换律、分配律。弄清它们的作用（各节相应的定理）及应用（三）、代数体系的比较

3、同态、同构1.同态映射、代数体系间同态的概念，同态的简单性质,如：保结合、交换、分配律等2.同构、口同构映射、代数体系间同构的概念，代数体系的代数性质同构映射下保持不变的性质，代数学研究的目标，正是发掘这种性质。要求掌握并运用同态同构、同构映射、自同构映射的概念，这里建立映射（一一映射）不是唯一的H标，还耍求它能“保持运算关系不变”体会同构、同态在代数学中的重耍意义，抓住事物的本质（四）等价关系、集合的分类、商集关系、满足某些附加条件（如：反身性、对称性、传递性）的关系、等价关系、集合的分类等概念等价关系与集合的分类Z间的联系商集（有时称之为剩余类集）的概念作了集合的一个分类

4、后，以类为元素构成的集理解基本概念，结合实例（如：整数集上的同余分类）弄清等价关系与集合的分类之间的联系＜/P＞vP＞二、第二章《群论》的主要内容及学习要求：＜/P＞vP＞木章讨论最简单的、只带冇一种代数运算的且满足某些条件的完整的代数体系群対本章的学习可使学员初步学握有关群的慕础知识和研究近世代数授慕本的方法。（-）擀的定义及性质1.几个性质I（封闭性）有II（结合律）冇HI（解的存在性）方程在G屮有解IV（【V'）（左（右）单位元的存在性）对有（）V（VZ）（左（右）逆元的存在性）为一固定的左（右）单位元，则対、s.t.（）III’（消去律）若则若贝另还冇性质：左、右单位

5、元的一致性单位元的唯一性左、右逆元的一致性逆元的唯一性解的唯一性1.群的儿个定义：第一定义：可简记为第二定义：可简记为（较常用）第二'定义：可简记为冇限群的定义：可简记为（较常用）2.儿个概念：有限群、无限群群的阶群中元的阶交换群、非交换群为阶最小的S3为阶最小的非交换群

（二）儿类具体的群变换群（置换群）与循坏群1.学握变换群、置换群的概念，变换、置换的表示与计算，儿种表示法之间的互化，熟悉S3、S4及其子群的构造。了解变换群在数学上的地位，其在几何上的应用很广（如：克莱因的观点），在群的理论上也很重要，Cayley定理指出：任一群必与一变换群同构（任一冇限群必

6、与一置换群同构），从而显示了变换群在群论中的普遍意义。2.循环群是构造最简单•、最易学握的-•类群循环群G二（a）的结构山其生成元a的阶所决定：a的阶为无穷时，（a）$（Z,+）a的阶为n时，（a）9（Zn,+）此命题的证明方法极貝代表性，耍求掌握。（三）代数体系的子体系、商体系子群、不变子群、商群1.子群⑴子群的定义及例子，如：群的中心⑵子群的判定条件：（H非空）a：①有②有b：③有c：H有限时，①有d：H中每一元的阶皆有限时,①冇⑶子群的生成1.陪集⑴左（右）陪集的概念、与Z对应的等价关系⑵指数的概念拉格朗日定理及其应用（要求重点掌握）冇限群的子群的阶与原群的阶的关系冇限

7、群的元的阶与群的阶的关系2.不变子群（好性质的子体系）⑴不变子群的定义及例子⑵不变子群的判定条件：（N为子群）a：有b：冇（即、有注：子群、不变子群中的单位元、逆元与原群中一致。1.商群商群的概念及例，商群的阶（四）群间的比较同态基本原理群的同态彖亦是群。（此时，单位元対到单位元、逆元対到逆元）不变子群、商群、同态之间的关系。从同构的意义上讲，群能且只能与其商群同构，其同态核为一不变子群。进一步地，在同态满射下，子群的彖为子群不变子群的彖为不变子群子群的逆象为子群不变子群的逆象为不变子群以上命题的证明方