等差数列的前n项和公式--上

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1、等差数列的前n项和（第1课时）复习回顾1、等差数列的定义：2、等差数列的通项公式：是等差数列3、等差数列的重要性质：我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题.例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，等差数列求和的历史末日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得.”有什么依据呢?4泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大

2、理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求和的问题，你能不能快速的求出呢？问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？212120191获得算法：123高斯(1777年-1855年)德国著名数学家高斯的算法计算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的

3、高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？所以S100=(1+100)×100？？首项尾项？总和？项数这就是等差数列前n项和的公式！=5050合作探究已知等差数列｛an｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.如何才能将等式的右边化简？①②倒序相加法公

4、式变形思考：比较这两个公式，如何记忆？等差数列的前n项和的公式：含a1和d求和公式含a1和an公式记忆例1.根据下列条件，求相应的等差数列的(1)解:由已知得：整体思想认识公式(2)解:课堂小结等差数列前n项和公式在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法等差数列的前n项和（第2课时）前n和公式：共5个量，由三个公式联系，知三可求二.通项公式：等差数列{an}倒序相加法例1、已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数

5、列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据与可知，当时，当时，，也满足上式，所以，数列的通项公式是.所以，是一个不含常数项的二次函数式.，是一个常数列，反之:分析：思考：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}是等差数列。若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）数列{an}是等差数列Sn＝An2＋Bn（2）数列{an}的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C，则：①若C＝0，则数列{an}是等差数列；②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。结论等差数列前n项和的性质一：思考

6、：若{an}为等差数列，那么是什么数列？数列{an}是等差数列为等差数列即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列。等差数列{an}的判定方法：则Sn最大。则Sn最小。等差数列前n项和的性质二：思考：既然等差数列的前n项和是关于n的一元二次，那么它的最值怎么求呢？不等式法求的最值：你能理解么？也可以用二次函数的图像求的最值，但要注意。解：例2.由题意知即例2解2：由题意知两种求等差数列前n项和最值的方法确定确定练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则

7、n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C例3.解法2：由已知得：例3.性质4：若数列{an}是等差数列，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差数列例4.等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.260C例5:已知数列前n项和记数列的前项和为求的表达式s例5:已知数列前n项和记数列的前项和为求的表达式『变式探究』1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*.(1

8、)求数列{an}的通项；(2)设Sn＝

9、a1

10、＋

11、a2

12、＋…＋

13、an

14、，求Sn.(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，d＝＝－2，∴an＝－2n＋10，n∈N*.解析：②当n≥6，n∈N*时，等差数列前n项和的性质：小结①③②④则Sn最大。则Sn最小。不等式法求的最值：小结⑤⑥若等差数列共有2n-1项，若等差数列共有2n项，小结⑦⑧