中学数学竞赛讲座及练习(第12讲)+平行线的问题 学生版

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1、中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第12讲)平行线的问题第十二讲平行线问题　　平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．　　正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．　　正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得

2、几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．　　现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．　　在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．例1如图1－18，直线a∥b，直线AB交a与b于A，B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°　　说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，

3、CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第12讲)平行线的问题　　例2如图1－21所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2．　　　说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2

4、，A2B2，B2A3，仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．　　(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋…-∠Bn-1+∠An=0．这时，连结A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，…，Bn-1An(当然，仍要保持AA1∥BAn)．　　推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．　　(2)这个问题也可以将

5、条件与结论对换一下，变成一个新问题．　　问题1如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？　　问题2如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？这两个问题请同学加以思考．第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第12讲)平行线的问题　　例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．　　说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．　　(2)在学过“三

6、角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．　　例4求证：三角形内角之和等于180°．　　说明事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．　　例5求证：四边形内角和等于360°．第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第12讲)平行

7、线的问题　　说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．　　(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．　　人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，…………………………n边形内角和=(n-2)×180°．　　这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式

8、上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．例6如图1－29所示．直线的同侧有三点A，B，C，且AB∥，BC∥．求证：A，B，C三点在同一条直线上．思考若将问题加以推广：在的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？　　例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．第6页共6页中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第12讲)平行线